R 모듈의 Tensor Product에 대해 혼란 스러움

Dec 31 2020

Tu의 미분 기하학에 관한 책에서 그는 $Free(V\times W)$ 같이:

$$\sum r_i(v_i, w_i), r_i \in R, (v_i, w_i) \in V \times W$$ 합계는 유한합니다.

내가 이해하는 방식은 위의 구성이 형식적인 조합이며 모듈의 실제 구조를 잊어 버립니다. 즉,$v_1+v_2 = v_3$, 그것은 사실이 아닙니다 $Free(V\times W)$$(v_1, 0) + (v_2, 0) = (v_3, 0)$

이제 텐서 곱을 형성하기 위해 하위 모듈로 몫을 지정합니다. $S$ 다음과 같은 형식의 요소로 확장됩니다. $$ (v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w)\\ (v,w_1 + w_2) - (v, w_1) - (v, w_2)\\ (rv,w) - r(v,w)\\ (v, rw) - r(v,w)$$ 그런 다음 제품에서 텐서 제품으로의 맵이 있습니다. $$(v,w) \rightarrow v\otimes w$$

그러나 $v_3 = v_1 + v_2$, 그러면 표시 할 수 없습니다. $$v_3\otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$$ 다음 경우에 해당되어야합니다. $\otimes$A는 모듈 이체 동형의 쌍 선형지도.

답변

1 azif00 Dec 31 2020 at 02:03

이후 $V \otimes W := \operatorname{Free}(V \times W)/S$$\otimes : V \times W \to V \otimes W$ 에 의해 정의된다 $$(v,w) \mapsto v \otimes w := (v,w)+S,$$ 조건 $(v_1 + v_2, w) - ((v_1, w) + (v_2, w)) \in S$ 우리에게 말한다 $$(v_1 + v_2, w)+S = ((v_1, w) + (v_2, w))+S = ((v_1,w)+S) + ((v_2,w)+S)$$ 이것은 $(v_1 + v_2) \otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$. 또한 정의하는 다른 관계를 관찰하십시오.$S$ 우리에게 주어지다 \begin{align} v \otimes (w_1+w_2) &= v \otimes w_1 + v \otimes w_2, \\ (rv) \otimes w &= r(v \otimes w), \\ v \otimes (rw) &= r(v \otimes w).\end{align}


만약 $M$ 이다 $R$-모듈 및 $S$ 다음의 하위 모듈입니다. $M$, 몫 $M/S$ 에 의해 정의된다 $M/\!\sim$, 어디 $$(\forall u_1,u_2 \in U) \quad u_1 \sim u_2 \iff u_1-u_2 \in S.$$ 이 경우 등가 클래스 $m \in M$ ~에 의해 주어진다 $m+S := \{m+s : s \in S\}$ (그 후 $m+S = m'+S \iff m-m' \in S$), 우리는 $R$-모듈 구조 $M/S$ 으로 $$(\forall m,m' \in M)(\forall r \in R) \quad r(m+S)+(m'+S) := (rm+m')+S.$$

Jeff Dec 31 2020 at 12:10

그래서 후손을 위해 같은 혼란을 겪을 수있는 다른 사람들을 위해 답을 쓰고 싶습니다. @KCd가 명확하게 설명했듯이$Free(V\times W)$ 형식입니다.

$$\sum r_i(v_i, w_i)$$

그러나 특정 요소를 작성하면 $Free(V\times W)$ 같이 $r_1(v_1 + v_2, w_1)$$v_3 = v_1 + v_2$ 그때 $$r_1(v_1 + v_2, w_1) = r_1(v_3, w_1)$$ 다시 말해, 표기법의 괄호 안에는 형식적인 합계를 취하는 것이 아니라 일반적으로하는 것처럼 모듈의 요소를 결합합니다.