샘플링 및 재구성이있는 에지 케이스.

Dec 31 2020

나는 내가 전에, 여기 그리고 여기 에서이 질문에 대해 다루어 왔음을 알고 있지만, 누구든지 그들의 속임수 가방에 다음과 같은 가장 간단하고 간결한 증거를 가지고 있습니까?

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n \, \operatorname{sinc}(t-n) = \cos(\pi t) $$

어디

$$ \operatorname{sinc}(x) \triangleq \begin{cases} \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \qquad & x \ne 0 \\ \\ 1 & x = 0 \\ \end{cases} $$

$t\in\mathbb{R}$$n\in\mathbb{Z}$ ?

나는 양쪽이 짝수 함수임을 보여줄 수 있습니다. $t$ 그리고 양측이 동의 할 때 $t$정수입니다. 그러나 모든 현실에 대해 평등을 보여주는 가장 간단한 방법은 무엇입니까?$t$ ?

이것은 네안데르탈 인 전기 엔지니어들을 위해 제가 모으고 싶은 것입니다. (감사합니다.)

답변

2 MattL. Jan 04 2021 at 02:17

이 답변은 주로 OP 관련 질문에 대한 (매우 간결한) 답변 을 기반으로 합니다 .

참고 $t\in\mathbb{Z}$평등은 쉽게 보여줄 수 있습니다. 흥미로운 경우는$t$정수가 아닙니다. 아래 파생은 정수가 아닌 실수 값에 대해 유효합니다.$t$.

사용 $\cos(x)\sin(y)=\frac12\big[\sin(x+y)-\sin(x-y)\big]$ 우리는 쓸 수있다

$$\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n\textrm{sinc}(t-n)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\cos(n\pi)\frac{\sin[\pi(t-n)]}{\pi(t-n)}\\&=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{t-n}\\&=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\left[\frac{1}{t}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{t-n}+\frac{1}{t+n}\right)\right]\\&=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\left[\frac{1}{t}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2t}{t^2-n^2}\right]\tag{1}\end{align}$$

이제 다음 결과가 필요합니다.

$$\frac{1}{t}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2t}{t^2-n^2}=\pi\cot(\pi t)\tag{2}$$

여기 , 여기 및 여기 에서 찾을 수 있으며 sinc 함수의 잘 알려진 무한 곱 표현에서 파생 될 수 있습니다.

$$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{t^2}{n^2}\right)\tag{3}$$

결합 $(1)$$(2)$ 원하는 결과를 얻을 수 있습니다.

1 fedja Jan 01 2021 at 12:34

합계를 이해하는 방법에 다소주의해야하지만 이해한다고 가정하면 $\sum_{n=-\infty}^\infty a_n$ 한계로 $N\to\infty$$\sum_{-N\le n\le N}(1-\frac{|n|}{N})a_n$ (후자가 의미가있을 때 일반적인 결과와 동일한 결과를 제공하는 Cesaro 요약), 다음과 같이 작성할 수 있습니다. $$ (-1)^n\rm{sinc}(t-n)=\int_{-1/2}^{1/2}e^{-2\pi i n(x+\frac 12)}e^{2\pi i xt}\,dx $$ 그래서 Cesaro 부분 합계는 $\int_{-1/2}^{1/2}K_N(x+\frac 12)e^{2\pi i xt}\,dx$ 어디 $K_N(z)=\sum_{-N}^N(1-\frac{|n|}{N}) e^{-2\pi i nz}$는 IS 페이 르 커널은 . 지금 알고 싶은 것은$K_N$ 대칭이고 음이 아닙니다. $1$-주기적, 총 적분 있음 $1$ 기간 동안 균일하게 경향이 $0$임의적으로 작은 정수의 이웃 외부. 그래서, 큰$N$, $K_N(x+\frac 12)$ 거의 $0$ 의 위에 $(-\frac 12+\delta,\frac 12-\delta)$ 모든 고정 $\delta>0$ 거의 적분 $\frac 12$ 각 간격마다 $[-\frac 12,-\frac 12+\delta]$$[\frac 12-\delta,\frac 12]$. 이와 같은 것을 통합 할 때$e^{2\pi i xt}$ 위에 $[-\frac 12,\frac 12]$, 당신은 대략 얻을 것이다 $\frac 12(e^{-\pi it}+e^{\pi i t})=\cos(\pi t)$.

이 주장에서 보행자가 아닌 유일한 단계는 일반적인 요약에서 Cesaro로 전환하는 것입니다. 피할 수는 있지만 대신 Dirichlet 커널을 얻고 한계에 대한 마지막 통로가 다소 덜 분명합니다 (커널은 간격의 대부분에서 균일하게 붕괴되지 않고 대신 더 빠르고 빠르게 진동합니다. Riemann-Lebesgue 기본형과 같은 것을 사용하여 (작은 이웃) 끝점 만 볼 필요가 있음을 보여줍니다.