샘플링 및 재구성이있는 에지 케이스.
나는 내가 전에, 여기 그리고 여기 에서이 질문에 대해 다루어 왔음을 알고 있지만, 누구든지 그들의 속임수 가방에 다음과 같은 가장 간단하고 간결한 증거를 가지고 있습니까?
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n \, \operatorname{sinc}(t-n) = \cos(\pi t) $$
어디
$$ \operatorname{sinc}(x) \triangleq \begin{cases} \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \qquad & x \ne 0 \\ \\ 1 & x = 0 \\ \end{cases} $$
과 $t\in\mathbb{R}$ 과 $n\in\mathbb{Z}$ ?
나는 양쪽이 짝수 함수임을 보여줄 수 있습니다. $t$ 그리고 양측이 동의 할 때 $t$정수입니다. 그러나 모든 현실에 대해 평등을 보여주는 가장 간단한 방법은 무엇입니까?$t$ ?
이것은 네안데르탈 인 전기 엔지니어들을 위해 제가 모으고 싶은 것입니다. (감사합니다.)
답변
이 답변은 주로 OP 관련 질문에 대한 (매우 간결한) 답변 을 기반으로 합니다 .
참고 $t\in\mathbb{Z}$평등은 쉽게 보여줄 수 있습니다. 흥미로운 경우는$t$정수가 아닙니다. 아래 파생은 정수가 아닌 실수 값에 대해 유효합니다.$t$.
사용 $\cos(x)\sin(y)=\frac12\big[\sin(x+y)-\sin(x-y)\big]$ 우리는 쓸 수있다
$$\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n\textrm{sinc}(t-n)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\cos(n\pi)\frac{\sin[\pi(t-n)]}{\pi(t-n)}\\&=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{t-n}\\&=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\left[\frac{1}{t}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{t-n}+\frac{1}{t+n}\right)\right]\\&=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\left[\frac{1}{t}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2t}{t^2-n^2}\right]\tag{1}\end{align}$$
이제 다음 결과가 필요합니다.
$$\frac{1}{t}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2t}{t^2-n^2}=\pi\cot(\pi t)\tag{2}$$
여기 , 여기 및 여기 에서 찾을 수 있으며 sinc 함수의 잘 알려진 무한 곱 표현에서 파생 될 수 있습니다.
$$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{t^2}{n^2}\right)\tag{3}$$
결합 $(1)$ 과 $(2)$ 원하는 결과를 얻을 수 있습니다.
합계를 이해하는 방법에 다소주의해야하지만 이해한다고 가정하면 $\sum_{n=-\infty}^\infty a_n$ 한계로 $N\to\infty$ 의 $\sum_{-N\le n\le N}(1-\frac{|n|}{N})a_n$ (후자가 의미가있을 때 일반적인 결과와 동일한 결과를 제공하는 Cesaro 요약), 다음과 같이 작성할 수 있습니다. $$ (-1)^n\rm{sinc}(t-n)=\int_{-1/2}^{1/2}e^{-2\pi i n(x+\frac 12)}e^{2\pi i xt}\,dx $$ 그래서 Cesaro 부분 합계는 $\int_{-1/2}^{1/2}K_N(x+\frac 12)e^{2\pi i xt}\,dx$ 어디 $K_N(z)=\sum_{-N}^N(1-\frac{|n|}{N}) e^{-2\pi i nz}$는 IS 페이 르 커널은 . 지금 알고 싶은 것은$K_N$ 대칭이고 음이 아닙니다. $1$-주기적, 총 적분 있음 $1$ 기간 동안 균일하게 경향이 $0$임의적으로 작은 정수의 이웃 외부. 그래서, 큰$N$, $K_N(x+\frac 12)$ 거의 $0$ 의 위에 $(-\frac 12+\delta,\frac 12-\delta)$ 모든 고정 $\delta>0$ 거의 적분 $\frac 12$ 각 간격마다 $[-\frac 12,-\frac 12+\delta]$ 과 $[\frac 12-\delta,\frac 12]$. 이와 같은 것을 통합 할 때$e^{2\pi i xt}$ 위에 $[-\frac 12,\frac 12]$, 당신은 대략 얻을 것이다 $\frac 12(e^{-\pi it}+e^{\pi i t})=\cos(\pi t)$.
이 주장에서 보행자가 아닌 유일한 단계는 일반적인 요약에서 Cesaro로 전환하는 것입니다. 피할 수는 있지만 대신 Dirichlet 커널을 얻고 한계에 대한 마지막 통로가 다소 덜 분명합니다 (커널은 간격의 대부분에서 균일하게 붕괴되지 않고 대신 더 빠르고 빠르게 진동합니다. Riemann-Lebesgue 기본형과 같은 것을 사용하여 (작은 이웃) 끝점 만 볼 필요가 있음을 보여줍니다.