사실인가요 $V^{\,T}SV=\Lambda$?
신속한
대칭 행렬 $S=S^T$ 직교 고유 벡터가 있음 $\vec{v}_1$ ...에 $\vec{v}_n$. 그런 다음 모든 벡터$\vec{x}$ 조합으로 쓸 수 있습니다 $\vec{x} = c_1 \vec{v}_1+ \cdots + c_n \vec{x}_n$. 이 공식을 설명하십시오.$\vec{x}^{\,T}S\vec{x} = \lambda_1 c_1^2+ \cdots + \lambda_nc_n^2$
내 설명 :
$\vec{x}$ 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $$ \begin{bmatrix} \vec{v}_1 & \cdots & \vec{v}_n \end{bmatrix}_{nxn} \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}_{\,nx1} = V\vec{c} $$ 중히 여기다, $$ \vec{x}^{\,T}S\vec{x} = \vec{c}^{\,T}(V^{\,T}SV)\vec{c} = \vec{c}^{\,T}\Lambda\vec{c} = \lambda_1 c_1^2 + \cdots + \lambda c_n^2 $$ 우리는 다음과 같은 직교 고유 벡터를 볼 수 있습니다. $S$곱하여 대각 고유 행렬을 만듭니다. 그런 다음 벡터 가중치의 내적,$c^2$ 각각의 고유 값에 의해 척도 화 된 항.
내 설명에 대해 꽤 기분이 좋습니다. 내가 완전히 이해하지 못하는 부분이 이유$V^{\,T}SV=\Lambda$... 그것은 라인을 따라 더 동등 해야하는 것처럼 보입니다. $\Lambda^T \Lambda$ 각 고유 벡터는 오른쪽으로 곱할 때 크기가 조정되어야하므로 $A\vec{v} = \lambda \vec{v}$.
사실인가요 $V^{\,T}SV=\Lambda$? 그렇다면 이유를 아는 약간의 도움을 주시면 감사하겠습니다.
내가 생각했던 방식.
$$ V^TSV = V^T(SV) = V^T \begin{bmatrix} \lambda_1 \vec{v_1} & ... & \lambda_n \vec{v_n} \end{bmatrix} $$ 생각하는 방법 $SV$ 각 열의 $V$ 열을 곱하는 고유 벡터입니다. $S$. 우리는 이미이 조합이 고유 벡터의 정의에 의해 어떻게 될지 알고 있습니다.$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$. 마지막으로 오른쪽 곱하기$V^T$ 기억 $\vec{v}_i^{\,T}\vec{v_j}=1$ 이다 $1$ 언제 $i=j$ 과 $0$ 언제 $i\neq j$ 직교 벡터라는 정의에 의해.
분명히 우리는 $\Lambda$ 결과로서.
답변
네, 사실입니다 $V^TSV = \Lambda$. 이것이 왜 성립하는지 이해할 수있는 몇 가지 방법이 있습니다. 한 가지 방법은 각 행렬이 열-벡터에 대해 "하는"작업을 비교하는 것입니다.
허락하다 $\vec c$ 열 벡터를 나타냄 $\vec c = (c_1,\dots,c_n)$. 확인$\Lambda \vec c = (\lambda_1 c_1,\dots,\lambda_n c_n)$.
이제 우리는 제품을 $V^TSV \vec c = V^T(S(V\vec c))$. 우리는$$ V \vec c = \pmatrix{\vec v_1 & \cdots & \vec v_n} \pmatrix{c_1 \\ \vdots \\ c_n} = c_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \vec v_n. $$ 다른 방식으로 말하자면, $V$ 항목을 해석하는 것입니다. $\vec c$ 벡터의 계수로 $\vec v_1,\dots,\vec v_n$. 거기에서 우리는$v_i$ 다음의 고유 벡터입니다. $S$, 우리는 $$ S(V\vec c) = S(c_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \vec v_n) = c_1 \lambda_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \lambda_n \vec v_n. $$ 마지막으로 (왜냐하면 $V$ 직교) $V^T$ 역입니다 $V$. 그래서$V$ "입력 벡터"를에 대한 계수 목록으로 해석합니다. $v_i$, $V^T$ 벡터를 취하고 우리에게 계수 목록을 제공합니다. $v_i$출력으로. 그건,$$ V^T(S(V\vec c)) = (c_1 \lambda_1) \vec v_1 + \cdots + (c_n \lambda_n) \vec v_n = (c_1 \lambda_1,\dots,c_n \lambda_n). $$ 그래서 실제로 $V^TSV$ 과 $\Lambda$ 동일한 변환을 설명하므로 동일한 행렬입니다.
우리는 생각할 수 있습니다 $V^TSV$ 변경된 버전으로 $S$ 여기서, 벡터의 항목 (입력 및 출력 모두)을 벡터의 리터럴 좌표로 생각하는 대신 벡터의 계수로 해석합니다. $v_i$. 이전에 들어 보셨을 용어로, 우리는$\Lambda$ 매트릭스입니다 $S$ "기준 변경 후".