실베스터 문제.
유한 세트 $S$평면의 점 수는이 점 중 두 개를 통과하는 선이 세 번째 점을 통과하는 속성을 갖습니다. 모든 요점을$S$ 동일 선상에 있습니다.
나는 극한 원리를 사용하여이 문제의 증거를 보았다.
점이 동일 선상에 있지 않다고 가정합니다. 쌍 중$(p,L)$ 라인으로 구성 $L$ 그 선 위에 있지 않은 점은 거리를 최소화하는 점을 선택합니다. $d$ ...에서 $p$ ...에 $L$. 허락하다$f$ 수직의 발 $p$ ...에 $L$. (가정 상) 적어도 세 점이 있습니다$a,b,c$ 의 위에 $L$. 이 중 두 개는$a$ 과 $b$ 같은 편에있다 $f$. 허락하다$b $ 가까워지다 $f$ 보다 $a$. 그런 다음 거리$b$ 줄에 $ap$ 보다 작다 $d$. 모순.
제 질문은 마지막 부분입니다. 어떻게 "그런 다음 거리$b$ 줄에 $ap$ 보다 작다 $d$. "모순이 생깁니다. 누군가 설명해 줄 수 있습니까?
답변
증명의 시작 부분에서 우리는 $(p,L)$ 그런 거리 $d$ 중에서 $p$ 과 $L$ 해당 라인에 있지 않은 모든 라인과 포인트 중에서 최소값입니다.
우리가 쌍을 만들 때 모순이 발생합니다. $(b, ap)$ 보다 적은 거리로 $d$, 최소 조건과 모순되는 $(p,L)$.
"Geometry"는 태그가 될 수 있습니다.
편집 : 이유에 관하여 $b$ 에 더 가깝다 $ap$ 보다 $p$ ~이다 $L$, 직각 삼각형을 고려하십시오. $\triangle afp$.
$b$ 옆에있다 $af$. 선과의 거리$ap$ 높이를 초과 할 수 없습니다 $\triangle afp$ 베이스 포함 $ap$.
이후 $ap$ 가설입니다. $ap > af$.
영역 고려 $\triangle afp$, 우리는 높이 $\triangle afp$ 베이스 포함 $ap$ 높이보다 작습니다 $\triangle afp$ 베이스 포함 $af$, 즉 $fp = d$.
이것은 원하는 결과를 제공합니다. $b$ ...에서 $ap$ 보다 작다 $d$.
왜 거리가 멀었는지에 대한 시각적 설명 $B$ ...에 $AP$여기에 그림이 있습니다. 모든 포인트 레이블을 대문자로 표시하고$G$ 과 $H$, 수직선의 피트입니다. $B$ 과 $F$ 줄에 $AP$, 각각. 분명해야$PF > FH > BG$. 공식 증명은 유사한 삼각형과 비율을 사용합니다.
