Spivak Calculus Chapter 4, Appendix 3. Polar Coordinates (Comprehension Question)
이 부록은 대부분 매우 간단합니다. 그럼에도 불구하고 나를 혼란스럽게하는 한 문장이 있습니다 (인용문에 굵게 표시됨).
Spivak Calculus, 페이지 84 :
... 많은 상황에서 극좌표를 도입하는 것이 더 편리합니다 (그림 1 참조).
요점까지 $P$ 우리는 극좌표를 할당합니다 $(r,\theta)$, 어디 $r$ 원점으로부터의 거리 $O$ ...에 $P$, 및 $\theta$ 수평축과 선 사이의 각도입니다. $O$ ...에 $P$. 이 각도는도 또는 라디안 (15 장)으로 측정 할 수 있지만 두 경우 모두$\theta$명확하게 결정되지 않습니다. 예를 들어, 각도 측정을 사용하면 가로 축의 오른쪽에있는 점은 다음 중 하나를 가질 수 있습니다.$\theta=0$ 또는 $\theta=360$; 게다가$\theta$ 원점에서 완전히 모호합니다. $O$. 따라서 고유 한 쌍을 할당하려면 원점을 통해 일부 광선을 제외해야합니다.$(r,\theta)$ 고려중인 각 지점에.
표시된 문장의 의미는 무엇입니까? 그는 무슨 광선에 대해 말하고 있습니까?
나는 이것이 고유 한 쌍을 가질 수없는 하나의 광선 (가로축의 오른쪽과 원점의 모든 점을 포함하는)의 예라고 생각합니다. $(r,\theta)$해당 포인트에 할당됩니다. 이 광선을 회전하면 평면의 어떤 점도 고유 한 쌍을 가질 수 없습니다.$(r,\theta)$할당되었지만이 시점에서 이미 명확하지 않습니까? 확실하지 않아요...
답변
나는 이것이 하나의 광선 (수평축과 원점의 오른쪽에있는 모든 점을 포함 함)의 예라고 생각하는데, 어떤 점에도 할당 된 고유 쌍 (𝑟, 𝜃)을 가질 수 없습니다.
네, 이것이 그가 의미하는 것 같아요. 나는이 단락에도 혼란 스러웠다.
그는 실제로 말하지 않지만 물론 우리가 선택한 $\theta$ 360도 전체를 커버하는 한 다소 임의적입니다.$2\pi$ 라디안.
우리는 사용할 수 있습니다 $\theta$의 정의 $$0 \leq \theta \leq 360$$ 또는 $$73 \leq \theta \leq 433$$ 또는 $$-\frac{3\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{4}$$
(아날로그 적으로 우리는 측정하는 원점을 통해 어떤 광선이든 선택할 수 있습니다. $\theta$. 긍정적 인 것을 사용하는 선택$x$-축은 다소 임의적입니다.)
일반적으로 우리는
$$\theta_0 \leq \theta \leq\theta_0 + 360$$
어디 $\theta_0$ 초기 각도입니다.
내가 생각하는 그는 자신과에서 점점 무슨 "원점을 일부 선을 제외"우리가에 의해 정의 된 선을 따라 모든 점을 제외한다는 것입니다$(r,\theta_0)$ 어디 $r \geq 0$.
모든 선택 $\theta_0$, 우리는 포인트를 제외합니다 $(r,\theta_0)$, 원점과 함께 고유에 명확하게 할당 할 수있는 포인트 만 남겨 둡니다. $(r, \theta)$, 어디 $\theta_0 < \theta < \theta_0 +360$ 과 $r > 0$.
유사하게, 우리는 우리의 $\theta$ 긍정적 인 반대 $y$-축 또는 음수에서 시계 반대 방향으로 76 ° 인 광선 $x$-축 또는 원점을 통과하는 다른 광선, 그러나 어떤 것을 선택했는지에 상관없이 고유 한 값을 할당하려면 원점을 포함하여이 광선을 따라 점을 제외해야합니다.$(r, \theta)$ 좌표.
물론 이것은 정말 만족스럽지 않으며 우리의 선택에 관계없이 설명 할 수없는 포인트를 남깁니다. $\theta_0$
대신 우리는 $\theta$ 어느 쪽이든
$$\theta_0 < \theta \leq \theta_0 + 360$$
또는
$$\theta_0 \leq \theta < \theta_0 + 360$$
원점을 고정 된 것으로 정의합니다. $\theta$예 : $\theta_0$ 또는 $\theta_0 + 360$, 허용되는 항목에 따라 $\theta$. 원점을 통과하는 광선을 배제하지 않고 Spivak이 걱정하는 모호함을 쉽게 피할 수 있습니다.
다행히도 그다지 중요하지 않습니다. 그는 비행기에서 포인트를 선택하고 그들에게 고유하게 할당하는 데 어려움이 있음에도 불구하고 계속 말합니다.$(r, \theta)$ 다른 방향으로가는 것은 전혀 문제가되지 않습니다.
주어진 $(r, \theta)$, 이것은 고유 한 $(x,y)$ 비행기에서, 나머지 장은이 과정을 포함합니다.
단일 변환이 되려면 축의 점이 $x$ (음이 아닌 쪽) $\theta=0$ 또는 $2\pi$ 라디안.