subpresheaf의 Sheafification

Question

허락하다 $\mathscr{F}$ 뭉치의 부목이되다 $\mathscr{H}$. 내가 올바르게 이해했다면,이 경우에 깎아내는 것은 특히 단순한 형태를 가지고 있습니다. 에 의해 정의 된 뭉치입니다$$\widetilde{\mathscr{F}}(U)=\{s\in \mathscr{H}(U)\:|\:s\text{ locally lies in }\mathscr{F}\},$$ 우리가 말하는 곳 $s\in \mathscr{H}(U)$ 지역적으로 $\mathscr{F}$ 열린 덮개가 있습니까? $\{U_i\}$ 의 $U$ 그런 $s|_{U_i}\in \mathscr{F}(U_i)$ 모든 $i$.

이것이 실제로 뭉치라는 것은 분명하지만, 그것이 뭉치의 보편적 인 속성을 어떻게 충족하는지 볼 수 없습니다.

저는 다음과 같은 방식으로해볼 것을 생각했습니다.이 구조는 $\mathscr{F}$. 형태가 주어지면$\mathscr{F}\to\mathscr{G}$ 유도 된 형태가 있어야합니다. $\widetilde{\mathscr{F}}\to\widetilde{\mathscr{G}}$ 제한 할 때 원래 형태와 일치합니다. $\mathscr{F}$. 만약$\mathscr{G}$ 뭉치입니다. $\widetilde{\mathscr{G}}=\mathscr{G}$그래서 이것은 우리가 원하는 형태를 산출합니다. 하지만이 구조가 왜 기능적인지 알 수 없습니다.$\mathscr{F}$.

Answer 1

뭉치를 감안할 때 $\mathscr{G}$ 그리고 presheaves의 형태 $f:\mathscr{F}\to \mathscr{G}$, 당신은 presheaves의 형태를 직접 구성 할 수 있습니다. $\widetilde{f}:\widetilde{\mathscr{F}}\to \mathscr{G}$ 그 연장 $f$. 섹션이 주어짐$s\in \widetilde{\mathscr{F}}(U)$, 열려있는 덮개를 선택하십시오. $\{U_i\}$ 의 $U$ 제한이 $s\mid_{U_i}$ 눕다 $\mathscr{F}$. 그런 다음 신청할 수 있습니다.$f$ 이러한 각 제한 사항에 적용하고 이미지를 붙여서 $\widetilde{f}(s)\in \mathscr{G}(U)$. 이것이 잘 정의되어 있는지 확인하는 것은 어렵지 않습니다. 즉, 열린 덮개와 무관하며 실제로$\widetilde{f}$ 의 고유 한 확장입니다. $f$. 후자는$\widetilde{\mathscr{F}}$ 뭉치입니다.

당신이 언급 한 기능성에 관해서는 당신의 정의는 뭉치의 선택을 요구하기 때문에 $\mathscr{H}$, 나는 이것을 이해하는 방법을 잘 모르겠습니다 (물론 당신은 sheafification이 보편적 인 속성에 의해 기능적이라는 사실을 알고 있습니다).

Answer 2

나는 가정하고있다 $\mathscr H$ 위상 공간에있는 아벨 그룹의 뭉치입니다. $X$.
이후$\mathscr H$ sheafi-fication의 보편적 인 속성에 의해, pre-sheaves의 형태 $\iota:\mathscr F\hookrightarrow\tilde {\mathscr F} $ 통해 요인 $\mathscr F\xrightarrow{j}\mathscr F^{sh}\xrightarrow{\bar \iota }\tilde{\mathscr F}$. 그것을 보려면$\bar \iota: \mathscr F^{sh}\rightarrow \tilde {\mathscr F}$동형이기 때문에 줄기 수준에서 확인하는 것으로 충분합니다.
줄기 수준에서 우리는$x\in X$, 기본 공간, 구성 $$\mathscr F_x\xrightarrow{j_x}\mathscr F^{sh}_x\xrightarrow{\bar \iota_x }{\tilde{\mathscr F}}_x=\mathscr F_x $$그것은 정체성입니다. 게다가,$j_x$동형입니다. 이것은 층층의 구성에서 비롯됩니다. 그러므로$\bar \iota_x$ 모든 것에 대한 동형 $x\in X$ 따라서 $\bar \iota $ 동형입니다.

참고 : 표준 구성$\mathscr F^{sh}$ 고려하는 것입니다 $\mathscr F$ 줄기 뭉치의 서브 프레쉬 프로 서 $\mathscr H(U):=\{\prod_{x\in U}s_x: s_x\in \mathscr F_x \}$ 그리고 봐 $\tilde {\mathscr F}$ 이 뭉치에서.