순열을 3 주기로 분해
해결 방법을 모르는 두 가지 연습 문제가 있습니다.
- 순열 작성 $α = (1 2)(3 4)$ 3주기의 곱으로
- 순열 작성 $α = (1 2 8 3 7)(4 5 6)$ 3주기의 곱으로
순열을 2주기의 구성으로 변환하는 방법을 알고 있지만 3주기는 아닙니다. 홀수 / 짝수 속성에 따라 이것이 가능할 때에 대한 규칙이 있다고 생각하지만, 나는 순열 패리티에 대해 배우는 데 도움이되는 연습을 사용하고 있기 때문에 아직 그 이해에 근거한 주장을 따를 수 없습니다.
또한 왼쪽에서 오른쪽으로 구성하여 $(123) = (12)(13)$.
도움을 주셔서 미리 감사드립니다.
답변
첫째, 3주기는 짝수이고 짝수 순열의 곱은 자체 짝수이기 때문에 (이것이 의미하는 바를 알고 있다면 이것은 각 순열을 기호로 보내는 맵이 동형 이라는 사실에서 비롯된 것입니다 ) 순열에 대해 3주기의 곱으로 작성하려면 균등해야합니다. 다행히도$\alpha$의 있습니다.
이제 여기에서 일반적인 주장을하겠습니다. 위의 경우에 전문화 할 수 있기를 바랍니다. 짝수 순열$\sigma$ 조옮김의 곱으로 쓰세요. $\tau_1\cdots\tau_k$, 어디 $k$짝수 여야합니다. 보고$\tau_1\tau_2$, 당신은 가정 할 수 있습니다 $\tau_1\neq\tau_2$, 그렇지 않으면 제품이 동일한 순열입니다. 그런 다음 두 가지 경우가 있습니다.
- $\tau_1=(ab),\tau_2=(ac)$, 즉 $\tau_1,\tau_2$ 공통 번호를 바꾸어 말하십시오. $a$. 이 상황에서 언급했듯이$(123)$, $(ab)(ac)=(abc)$, 그래서 $\tau_1\tau_2$ 3 사이클입니다.
- $\tau_1=(ab),\tau_2=(cd)$,와 함께 $a,b,c,d$즉, 서로 분리되어 있습니다. 이 경우 다음과 같이 작성하십시오.$(ab)(cd)=(ab)(bc)(bc)(cd)$ 그리고 당신은 점 1로 두 개의 3주기의 곱을 얻습니다.
반복하고 사용하는 $k$ 짝수, 당신은 완전한 분해를 얻습니다 $\sigma$3 주기로. 부수적으로 이것은 실제로 모든 순열이 3주기의 곱으로 쓰여질 수 있음을 증명합니다 (다시 말하지만, 용어에 익숙하다면,$A_n$ 3 주기로 생성됨).
Cristofer는 이미 귀하의 질문에 답변 했으므로, 언제 분해 될 수 있는지에 대한 "규칙"이 있는지 궁금해 하셨으므로 일반적인 사례를 추가하겠습니다. 이것은 내가 Beardon Algebra and Geometry에서 배운 것이지만 확실히 더 많은 참고 문헌이 있습니다.
정리. 허락하다$\sigma\in S_n$ 순열, $2 \leq m \leq n.$ 그때 $\sigma$ 다음의 제품으로 분해 될 수 있습니다. $m$-사이클 $\iff$ 어느 한 쪽 $m$ 짝수 또는 $\sigma$ 짝수 순열입니다.
증명. $\implies$ 마치 쉽게 $\sigma$ 홀수 순열이면 모든 $m$-주기는 이상한 순열이어야합니다. $m$ 짝수이다.
$\impliedby$ 사례 I. 만약 $\sigma$ 짝수 순열이면 $\left(a_{1} a_{2}\right)\left(a_{1} a_{3}\right)=\left(a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} \cdots a_{m}\right)\left(a_{m} \cdots a_{4} a_{3} a_{1} a_{2}\right)$ (또는 왼쪽에서 오른쪽 구성을 사용하기 때문에 다른 방법)과 (2)에서 Cristofer의 트릭은 $(ab)(cd)=(ab)(bc)(bc)(cd)$ 당신이 쓸 수 있도록 $\sigma$ 의 제품으로 $m$-사이클.
사례 II. 만약$\sigma$ 이상한 순열이지만 $m$ 짝수, 케이스 I를 적용하여 분해 $\sigma (1 2 3 ... m)$ 으로 $m$-짝수 순열 인 순환 및 곱하기 $(m (m-1) ... 2 1)$ 완료하면 오른쪽에 $m$-사이클 분해 $\sigma$.