순열 그룹 제품

Question

허락하다 $E,F$ 두 개의 벡터 공간이고 $\varphi: \overbrace{E\times \cdots \times E}^{\text{$피$ times}} \to F$ ㅏ $p$-선형지도. 만약$\sigma$ 에 대한 순열 $S_{p}$, 그러면 다른 것을 정의 할 수 있습니다. $p$-선형지도 $\sigma \varphi: \overbrace{E\times \cdots \times E}^{\text{$피$ times}}\to F$ 으로: $$(\sigma \varphi)(x_{1},...,x_{p}) := \varphi(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)})$$

이제 내 책은 $\tau, \sigma$ 다음은 두 개의 순열입니다. $$(\tau \sigma)\varphi = \tau(\sigma \varphi)$$ 그러나 내 계산에 따르면 : $$[(\tau \sigma)\varphi](x_{1},...,x_{p}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$$ 이후 $[\sigma(\tau\varphi)](x_{1},...,x_{p}) = (\tau\varphi)(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))})$. 내 실수는 어디에 있습니까?

Answer 1

당신이 쓸 때 실수가 있습니다

$$[(\tau \sigma)\varphi](x_{1},...,x_{p}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$$

당신은

$$\begin{aligned}(\tau \sigma)\varphi(x_{1},...,x_{p}) &= \varphi(x_{(\tau\sigma)(1)},...,x_{(\tau\sigma)(p))})\\ &= \varphi(x_{(\tau\circ \sigma)(1)},...,x_{(\tau\circ \sigma)(p))})\\ &= \varphi(x_{(\tau(\sigma(1))},...,x_{(\tau(\sigma(p))})\\ &= \tau(\varphi(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)})\\ &= \tau(\sigma\varphi(x_1,...,x_p)\\ \end{aligned}$$

그러므로 책의 평등 $$(\tau \sigma)\varphi = \tau(\sigma \varphi)$$

Answer 2

일반적으로 $\varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$ -이것은 $\tau$ 과 $\sigma$ 출퇴근하다 $S_p$. 예를 들어$p=3$, $\tau = (1\ 3), \sigma = (1\ 2\ 3)$. 그때$$\sigma\tau \phi = (1\ 2\ 3)(1\ 3)\phi = \phi(x_1,x_3,x_2) $$ $$\tau\sigma \phi = (1\ 3)(1\ 2\ 3)\phi = \phi(x_2, x_1, x_3)$$

사실은 평가할 때 $\sigma\tau\phi$ (예를 들어) 먼저 신청할 수 있습니다. $\tau$ ...에 $\phi$ 그리고 마지막으로 적용 $\sigma$, 또는 먼저 신청할 수 있습니다. $\sigma$ ...에 $\tau$ 그런 다음 결합 된 순열 ($\sigma\tau$) ~ $\phi$.