쉬운 미적분 문제

Question

여기에 질문이 있습니다-타원에 새겨진 이등변 삼각형의 최대 면적 찾기 $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$. 선생님은 타원의 임의의 두 점을 삼각형의 꼭지점으로 간주하여 해결했습니다.$(a\cos\theta, b\sin \theta)$ 과 $(a\cos\theta, -b\sin \theta)$. (그냥 말하자$\theta$ 세타입니다) 그리고 미분 테스트를 진행했습니다 (내가 이해 했음).하지만 그는 우리의 $\theta$이 점은 항상 타원에 있다고 선언했습니다. 왜 그렇습니까? 그리고 그렇게하더라도 그러한 형태의 포인트가 필수 꼭지점이 될 것이라는 보장은 무엇입니까? 한 가지 더,이 문제를 해결하는 다른 방법을 제안 해 주시면 감사하겠습니다. 감사합니다!

Answer 1

대칭 주장을 믿는다면 영역을 최적화하는 것은 간단한 문제입니다.

$$A_1 = a b \sin \theta (1+ \cos \theta)$$

$$A_2 = a b (1+ \sin \theta) \cos \theta$$

$$0=\frac{\partial A_1}{\partial \theta}=a b [\cos\theta (1+ \cos \theta)-\sin^2 \theta] = ab [\cos^2 \theta - \sin^2 \theta + \cos \theta]$$

$$0=\frac{\partial A_2}{\partial \theta}=a b [\cos^2 \theta - \sin \theta(1+ \sin \theta)]= ab[\cos^2 \theta - \sin^2 \theta-\sin \theta]$$

첫 번째 방정식에 대한 해에는 최소 $\theta=\pi$ 및 최대 $\theta = \mp \frac{\pi}{3}$.

두 번째 방정식의 해에는 최소 $\theta=-\frac{\pi}{2}$ 및 최대 $\theta = \frac{\pi}{6}$ 과 $\frac{5\pi}{6}.$

흥미롭게도, 우리는 $x-$축과 $y-$중심선!

타원에서 임의의 세 점을 취하여 이등변 삼각형에 놓 이도록 제한 한 다음 라그랑주 승수를 사용하여 문제를 확실히 해결할 수 있습니다. 해결책은 위에서 찾은 것입니다.