통일의 뿌리없는 Kummer 확장 대응 (Serge Lang)

Question

다음 문제를 해결하려고합니다.

허락하다 $k$ 특유의 분야가되다 $0$. 각 유한 확장에 대해$E$ 의 $k$, 색인 $(E^* : E^{*n})$모든 양의 정수 n에 대해 유한합니다. 각 양의 정수에 대해 표시$n$, 한정된 수의 아벨 확장자 만 존재합니다. $k$ 정도 $n$.

만약 $k$ 원시 n 번째 통합 루트를 포함하며, abelian 확장의 일대일 대응을 사용할 수 있습니다. $k$ 지수 n 및 부분 군 $k^*$ 0이 아닌 요소의 n 번째 거듭 제곱 포함 $k$. 이 경우 해결하는 방법 중 하나는이 게시물의 답변 인 Kummer의 필드와 Galois 하위 그룹 사이의 bijection을 찾는 것 입니다.

이 아니라면 $k$ 통합의 n 번째 뿌리를 포함하지 않는 경우, 우리는 abelian 확장 사이에 어떤 종류의 대응이 있습니까? $k$ 지수 m 및 아벨 확장 $k(\zeta)$ 지수 n, 언제 $\zeta$ 원시 n 번째 통합 루트입니까?

나는 아벨의 확장이 $k$ 지수 n의 확장 정도는 확장 정도보다 크지 않습니다. $k(\zeta)$ 아벨 확장의 $k(\zeta)$ 동일한 집합에 의해 생성 된 지수 n의 곱하기 $\varphi(n)$, 언제 $\varphi(n)$ 오일러 함수를 나타냅니다.

또 다른 관찰 : 가정 $k$n 번째 단위의 뿌리를 포함하지 않습니다. H를$k^*$ 0이 아닌 요소의 n 번째 거듭 제곱 포함 $k$, 다음 $H$ 과 $\zeta^j$ 함께 하위 그룹을 생성합니다. $k(\zeta)^*$ 0이 아닌 요소의 n 번째 거듭 제곱 포함 $k(\zeta)$.

Answer 1

허락하다 $L/k$ 기껏해야 학위의 모든 아벨 확장의 합성물 $n$ 위에 $k(\zeta_n)$. 이후$k$ 특성이 0이고 $L/k$분리 가능합니다. 그런 다음$k(\zeta_n)$ 모두가 $n$-통일의 뿌리, 당신은 이미 알고 있습니다 $L/k$유한합니다. 만약$E/k$ 학위의 아벨 확장입니다 $\leq n$, 다음 $E(\zeta_n)$ 아벨의 확장입니다. $k(\zeta_n)$ 정도 $\leq n$, 그 후 $E\subset E(\zeta_n) \subset L$. 이후$L/k$분리 가능하며 최대 유한하게 많은 하위 확장을 포함합니다. 따라서 가능한 세트$E$ 유한합니다.