통합 $ \cos x.\cos 2x…\cos nx$

Dec 31 2020

나는 통합하고 싶었다 $\int \cos x\cos 2x\cdots \cos nx \, dx$.
내가 아는 것은$ \cos x\cos 2x\cdots \cos nx=\dfrac{1}{2^{n-1}}\sum_\pm \cos((n\pm(n-1)\pm\cdots\pm2\pm1)x)$ 합계가 전부인 곳 $2^{n-1}$ 가능한 $\pm$.
그러나 이것은 분명히 통합하기 어렵습니다.
에서 이 , 나에 대해 알고 온 베르너의 공식 나는 매우 적은 위의 문제를 해결하기 위해 복잡하게 생각합니다. 하지만이 공식을 임의의$n$ 주어진 문제에 대해.

미리 도와 주셔서 감사합니다.

답변

1 HenryLee Dec 31 2020 at 05:56

귀하의 질문은 : $$I_n=\int\prod_{k=1}^n\cos(kx)dx$$ 우리는 다음과 같은 사실을 시도하고 사용할 수 있습니다. $$\cos(kx)=\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}=\frac{e^{-ikx}}{2}\left(e^{2ikx}+1\right)$$ 그리고 다음과 같이 말합니다. $$\prod_{k=1}^n \cos(kx)=\left(\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}\right)\left(\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1\right)$$ 이 첫 번째 부분은 매우 쉽습니다. $$\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}=2^{-n}\exp\left(-ix\sum_{k=1}^nk\right)=2^{-n}e^{-\frac{in(n+1)}{2}x}$$ 이제 어려운 부분은 다음과 같습니다. $$\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1$$ 그리고 결과가 무엇이든 분명히 통합