통합의 속성

Oct 08 2020

허락하다 $T>0$결정된. 허락하다$f,g : [0,T] \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ 일부를위한 차별화 가능한 기능 $c>1$, $$f(x) \geq c, \; \forall \; x \in [0,T] .$$

알아 $f\cdot g$ 통합 가능합니다.

질문. 사실인가요$$\int_{0}^T c \cdot g(x) \; dx \leq \int_{0}^T f(x) \cdot g(x) \; dx?$$

그것을 증명하기 위해 부품 별 통합을 적용 할 생각을했지만 결론을 내리지 못했습니다.

답변

2 KaviRamaMurthy Oct 08 2020 at 23:27

이것은 거짓입니다. $f(x)=c+1$$g(x)=-1$ 반례를 제공합니다.

그러나 우리가 $g(x) \geq 0$ 그때 $f(x)g(x)-cg(x) \geq 0$ 그래서 $\int_0^{T} [f(x)g(x)-cg(x)] \geq 0$ 주는 $\int_0^{T} f(x)g(x) \geq c \int_0^{T} f(x)dx$.