왜 $1 - \lambda_{\max} (\mathrm A^\top \mathrm A) = \lambda_{\min} (\mathrm I - \mathrm A^\top \mathrm A)$

Question

A를 정사각형이 아닌 행렬이라고합시다. 다음 평등이 사실 인 이유는 무엇입니까?

$$1 - \lambda_{\max} (\mathrm A^\top \mathrm A) = \lambda_{\min} (\mathrm I - \mathrm A^\top \mathrm A)$$

시도:

정사각형 행렬의 고유 값 $X$는 고유 값의 역수입니다. $X^{-1}$, 우리는 :

$$\lambda_{\max}(\mathrm A^\top \mathrm A) = \frac{1}{\lambda_{\min}((\mathrm A^\top \mathrm A)^{-1})}$$

다음이 있습니다.

$$\lambda(I - \mathrm A^\top \mathrm A) = 1 - \lambda(\mathrm A^\top \mathrm A)$$

$$\lambda_{\min}(I - \mathrm A^\top \mathrm A) = \frac{1}{\lambda_{\max}((I - \mathrm A^\top \mathrm A)^{-1})}$$

Answer 1

당신이 증명하고 싶은 것은 매우 간단하고 형식의 것뿐만 아니라 모든 정사각형 행렬에 대해 사실입니다. $A^TA$. $\nu$ 고유 값 $P$ iff $1-\nu$ 고유 값 $I-P$. 따라서$I-P$ 형태이다 $\nu=1-\lambda$ 어디 $\lambda$ 고유 값 $P$. 최소한으로$\nu_\min=(1-\lambda)_\min=1-\lambda_\max$ 이후 $1-\lambda$ 최소화 될 때 $\lambda$ 최대입니다.