$|x|^{3/2}$ 강하게 볼록?

Question

$$f(x) = |x|^{3/2}, x \in \mathbb{R}$$ 2 차 미분을 취하면 $$ f''(x) = \frac{3}{4\sqrt{|x|}}$$ 요구 사항에 따라 가면 $f$ 때 강하게 볼록하다 $$f''(x) \geq m \gt 0$$ 그때 $f$ 강하게 볼록합니다.

그러나 요구 사항에 따라 가면 $f$ 때 강하게 볼록하다

$$g(x)=f(x)−\frac{m}{2} ||x||^2$$ 볼록하고 $∀x$ 그리고 일부 $m>0$ $$g(x) = |x|^{3/2} - \frac{m}{2} ||x||^2$$ $g$ 분명히 볼록하지 않은 $\frac{d^2}{dx^2}\frac{m}{2}||x||^2 > \frac{d^2}{dx^2}|x|^{3/2}$ 충분히 큰 $x$.

내 실수가 어디 있는지 알려주세요!

감사

Answer 1

그것은 사실이다 $f''>0$ 정의되고 실제로 $f$ 다음을 포함하는 간격에서 여전히 볼록합니다. $0$ 비록 $f''(0)$실제로 정의되지 않았습니다. (다소 느슨한 의미에서$f''(0)=+\infty$.)

그러나 첫 번째 요구 사항 은 단일 번호 가 없기 때문에 실제로 유지 되지 않습니다.$m>0$ 그런 $f'' \geq m$ 사방, 이후 $f''$무한대에서 0이됩니다. 그러므로$f$ 강하게 볼록하지는 않지만 그럼에도 불구하고 엄격하게 볼록합니다.