Norma operatora i działanie

Question

Normę operatora definiujemy jako $\left\lVert A \right\rVert = \sup \frac{\left\lVert A\psi \right\rVert}{ \left\lVert A \right\rVert} = \sup \left\lVert A\psi \right\rVert$ dla $A ∈ L(H)$. Mówi się, że$||A||$ mierzy wielkość działania $A$.

Co oznacza działanie $A$ a co jest sup w tym równaniu?

Jak możemy też sprawdzić, czy $A$ jest ograniczony lub nieograniczony tym stwierdzeniem?

Answer 1

Operator jest nieograniczony, jeśli jego norma nadrzędna jest nieskończona. Wynika to w trywialny sposób, negując definicję ograniczonego operatora w przestrzeni preBanacha.

„Operator liniowy $A :D(A) \rightarrow X$ nazywa się ograniczonym, iff

$$\forall \psi\in D(A), \exists k\in \mathbb R, \text{so that} ||A\psi|| \leq k ||\psi||. $$

Maksymalna wartość $k$ nad domeną A nazywana jest normą supremum A.

Answer 2

Sup w równaniu jest supremumem nad wszystkimi stanami poza przestrzenią Hilberta $\mathcal{H}$. Innymi słowy, wybierasz stan$|\psi\rangle$ poza $\mathcal{H}$ dla którego numer $\frac{\mid\mid A|\psi\rangle\mid\mid}{\mid\mid |\psi\rangle\mid\mid}$staje się największym. Można wykazać, że norma operatora$A$ odpowiada największej wartości własnej $\sqrt{A^{\dagger}A}$. Jako operator działający na$\mathcal{H}$, $A$ odwzorowuje jeden stan na inny, co może nie zostać znormalizowane, ponieważ nie masz żadnej gwarancji $A$bycie jednolitym. Możesz więc pomyśleć o działaniu$A$ jako miara „ile” nie znormalizowanych $A|\psi\rangle$ jest, biorąc pod uwagę to $|\psi\rangle$ jest, tj $\langle\psi | \psi \rangle=1$.