19 bolas e uma balança

Aqui está uma estratégia óbvia

Escolha doze bolas quaisquer, divida-as em dois grupos de seis e compare os dois grupos usando as escalas. Se a balança inclinar para um lado (não está equilibrada), então sabemos que este grupo de 12 contém a bola ímpar e podemos usar qualquer uma das estratégias detalhadas nas respostas a esta pergunta para deduzir a bola ímpar e seu peso relativo em mais três pesagens.

Caso contrário, se a escala estiver equilibrada, então sabemos que a bola ímpar é uma das 7 restantes. Neste caso, podemos apenas adicionar 5 bolas do primeiro grupo para fazer 12 e depois repetir uma das estratégias detalhadas nas respostas a este questão .

Nota

Essa rápida generalização nos dá uma estratégia de deduzir a bola ímpar até um tamanho definido de 24.

Uma solução muito agradável para a questão das 12 bolas e 3 pesagens foi referenciada por Gareth McCaughan aqui, que acabei de copiar para o texto de spoiler abaixo para referência rápida

Algumas das respostas existentes para essa pergunta antiga são excelentes, mas há uma resposta famosa que acho que merece ser mencionada aqui. Vem de um artigo na Eureka , a revista anual da sociedade matemática estudantil da Universidade de Cambridge, escrito por CAB Smith sob o pseudônimo de "Blanche Descartes".

Ele tem dois recursos muito interessantes. A primeira é que é uma solução de "remoção de ramificações": você não precisa mudar o que faz nas pesagens posteriores, dependendo dos resultados das anteriores. A segunda é que, depois de ver, é quase impossível esquecer.

A solução de Smith é escrita inteiramente em verso e inclui uma explicação de como tudo funciona, mas citarei apenas a resposta real. "F" aqui é nosso protagonista Professor Felix Fiddlesticks, cuja mãe pediu a ele ajuda com o quebra-cabeça. Fiz algumas mudanças insignificantes na formatação original.

F colocou as moedas em uma fileira
E riscou uma letra em cada uma, então,
Para formar as palavras: F AM NOT LICKED
(Uma ideia em seu cérebro clicou.)

E agora sua mãe vai ordenar:
"MA, FAÇA / GOSTA
DE EU / ENCONTRE
FALSAS / MOEDAS! "

Cada uma das três linhas da injunção de F descreve uma pesagem. Depois de fazer tudo isso, os resultados determinam de forma única qual moeda é falsa e de que maneira.

Referência adicional

Acho que para 4 pesagens podemos realmente encontrar a bola estranha em um conjunto de tamanho $\frac{3^4 - 3}{2} = 39$.
Uma boa discussão do problema geral é dada aqui