A matriz exponencial é independente da norma?

Question

A definição da matriz exponencial usa potências, multiplicação por escalares, somas e um limite. Os primeiros 3 são dados pelo espaço vetorial em que as matrizes estão. Um limite exigiria transformar esse espaço de matrizes em um espaço normalizado, acredito. Como existem diferentes normas possíveis para um espaço de matrizes, não está claro que as mesmas sequências convergem para cada norma, o que pode significar que a matriz exponencial depende da norma.

Enquanto escrevia isso, lembrei que um espaço de matrizes é isomórfico (como um espaço vetorial) para $\mathbb{F}^k$ para alguns $k \in \mathbb{N}$ e algum campo $\mathbb{F}$ e todas as normas em $\mathbb{F}^k$são equivalentes. Eu acredito que o isomorfismo como um espaço vetorial implicaria que todas as normas são equivalentes, uma vez que as normas são definidas em termos do espaço vetorial. Isso está correto?

(Editar: minha última afirmação pode estar errada se o que alguém comentou for verdade, mas pelo menos é verdade para os campos reais e complexos)

Answer 1

O limite depende apenas da topologia subjacente, e todas as normas em um espaço vetorial de dimensão finita geram a mesma topologia, que depois de escolher uma base é a topologia da convergência pontual dos coeficientes. Portanto, a matriz exponencial é independente da escolha da norma, mas é bom que você tenha percebido a possibilidade de que não seja!