A norma 2 de uma matriz é limitada pelo máximo de sua norma 1 e norma do infinito?

Jan 01 2021

Estou implementando o algoritmo em "Aproximando o Logaritmo de uma Matriz à Precisão Especificada", de Sheung Hun Cheng, Nicholas J. Higham, Charles S. Kenny, Alan J. Laub, 2001.

Neste algoritmo, eu evitaria calcular a norma 2 de uma matriz quadrada de valor real $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$. Experimentos numéricos sugerem que o seguinte limite superior se mantém

$\|A\|_2 \leq \max ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

Alguém pode confirmar se essa desigualdade sempre se mantém? Obrigado e feliz Ano Novo!

Um usuário observou que Cauchy-Schwarz implica

$\|A\|_2 \leq \sqrt n \min ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

o que em alguns casos melhora o limite, mas nem sempre. Espero que minha pergunta inicial ainda seja relevante. Um contra-exemplo para a desigualdade sugerida também seria apreciado, se existir.

Respostas

datahaki Jan 01 2021 at 08:43

De fato:

$\|A\|_2 \leq \max ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

segue de

$\|A\|_2 \leq \sqrt { \|A\|_1 \|A\|_\infty } \leq \max ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

o que - de acordo com a Wikipedia - é um caso especial de desigualdade de Hölder.