abrir pontos genéricos de esquema afim?

Question

Deixei $S=\text{Spec} A$ ser um esquema afim, assumimos $A$ não é um campo, então conhecemos componentes irredutíveis de $S$ correspondem a todos os ideais primários mínimos de $A$, na verdade, esses ideais primários são pontos genéricos de componentes irredutíveis de $S$.

Então eu quero saber se assumimos que todos esses pontos genéricos são pontos abertos em $S$(ou pelo menos um ponto genérico está aberto), qual propriedade de $A$ podemos deduzir?

E o que quero dizer com um ponto aberto é que esse ponto está aberto na topologia do subespaço.

Obrigado!

Answer 1

Para simplificar, vamos supor que $\mathrm{Spec}(A)$ é integral (vou deixar você pensar sobre o caso não integral) com ponto genérico único $\eta$. E se$\{\eta\}$ está aberto então sabemos que existe algum bairro $D(f)$ do $\eta$ contido em $\{\eta\}$ e assim, é claro, $D(f)=\{\eta\}$. A partir disso, vemos que

$$A[f^{-1}]=\mathcal{O}(D(f))=\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A),\eta}=\mathrm{Frac}(A)$$

onde a igualdade do meio se mantém, uma vez que não há bairros de $\eta$ devidamente contido em $D(f)$.

Por outro lado, vemos que, se houver algum $f$ dentro $A$ de tal modo que $\displaystyle A[f^{-1}]=\mathrm{Frac}(A)$ então vemos que, em particular, $A[f^{-1}]$ é um campo e então $\mathrm{Spec}(A[f^{-1}])$consiste apenas em um ponto. Mas, o mapa$\mathrm{Spec}(A[f^{-1}])\to \mathrm{Spec}(A)$ é uma incorporação aberta com imagem $D(f)$ e assim, em particular, sua imagem contém $\eta$. Mas desde$D(f)$ consiste em apenas um ponto, devemos ter que $D(f)=\{\eta\}$ e assim $\{\eta\}$ está aberto.

Assim, do exposto, deduzimos o seguinte:

Proposta: Let$A$ser um domínio. Em seguida, o ponto genérico (único)$\eta$ do $\mathrm{Spec}(A)$ está aberto se e somente se houver algum $f$ dentro $A$ de tal modo que $A[f^{-1}]=\mathrm{Frac}(A)$.

Deixe-nos dar alguns exemplos simples / não exemplos:

Exemplo 1: Let$\mathcal{O}$ ser um DVR com uniformizador $\pi$. Então,$\mathrm{Frac}(\mathcal{O})=\mathcal{O}[\pi^{-1}]$ e então você vê que o ponto genérico de $\mathrm{Spec}(\mathcal{O})$está aberto. De fato,$\mathrm{Spec}(\mathcal{O})$ consiste, como é usado muitas vezes, de um ponto genérico aberto $\eta$ e um ponto fechado $(\pi)$.

Observação 1: Mais geralmente, se$K$ é um campo e $\mathcal{O}$é um chamado anel de avaliação microbiana em$K$ (por exemplo, ver [1, §I.1.5]), então $K=\mathcal{O}[\varpi^{-1}]$ para qualquer pseudo-uniformizador $\varpi$ (por exemplo, ver [1, Lema I.1.5.9]) e, portanto, o ponto genérico de $\mathrm{Spec}(\mathcal{O})$está aberto. Esses anéis de valoração desempenham um papel central na teoria dos espaços ádicos de Huber. A título de exemplo, pode-se considerar a valorização induzida na$\mathrm{Frac}(\mathbb{C}_p\langle t\rangle)$ pela avaliação

$$\left|\sum_{n=0}^\infty a_n t^n\right|=\sup |a_n|$$

em

$$\mathbb{C}_p\langle t\rangle:=\left\{\sum_{n=0}^\infty a_n t^n:\lim a_n=0\right\}$$

Então, o anel de avaliação em $\mathrm{Frac}(\mathbb{C}_p\langle t\rangle)$é um exemplo de um anel de avaliação microbiana. Você pode tornar ainda mais exótico (não classificado$1$) exemplos. Consulte [1, §I.1.5] novamente).

Não exemplo 2: Certamente$\mathbb{Z}$ não tem ponto genérico aberto, pois não há elemento $f$ dentro $\mathbb{Z}$ de tal modo que $\mathbb{Z}[f^{-1}]=\mathbb{Q}$. Na verdade, isso fica claro ao pensar sobre o fato de que$v_p(f)\ne 0$ por apenas finitamente muitos $p$ (Onde $v_p$ é o $p$avaliação -adic).

Exemplo / Não exemplo 3: Se$A$ é um tipo finito sobre um campo $k$ (e um domínio), em seguida, o ponto genérico de $\mathrm{Spec}(A)$ está aberto se e somente se $A$ é uma extensão finita de $k$. Na verdade, uma maneira fácil de ver isso é que isso implica que existe algum$f$ dentro $A$ de tal modo que $A[f^{-1}]=\mathrm{Frac}(A)$. Desde a$\mathrm{Spec}(A[f^{-1}])\to \mathrm{Spec}(A)$ é uma incorporação aberta que isso implica (por exemplo, veja [2, Teorema 5.22 (3)]) que $\mathrm{Spec}(A)$ tem dimensão zero de onde a conclusão segue (por exemplo, veja [2, Corolário 5.21]).

Observação 2: Combinando o Exemplo 1 e o Exemplo / Não Exemplo 3, podemos observar uma sutileza interessante. Ou seja, como usamos no último (e é bem conhecido) se$X$ é uma variedade irredutível então $\dim(U)=\dim(X)$ para qualquer subconjunto aberto $U$ do $X$. Isso é falso para anéis gerais, como mostra o Exemplo 1 , uma vez que$\dim\{\eta\}=0$ mas $\dim \mathcal{O}=1$ (no caso do DVR).

Referências:

[1] Morel, S., 2019. Adic Spaces. Notas da aula.https://web.math.princeton.edu/~smorel/adic_notes.pdf.

[2] Görtz, U. e Wedhorn, T., 2010. Algebraic geometry. Wiesbaden: Vieweg + Teubner.