Álgebra linear, aproximação e teorema fundamental da álgebra linear

Question

Para um dado $m\times n$ matriz $A$ e $\vec{x} \in \mathbb{R}^n$ encontrar $\vec{y} \in \mathbb{R}^n$ que é uma solução para $A\vec{y}=0$ e está a uma distância mínima de $\vec{x}$.

Mostre isso para $\vec{y}$ de tal modo que $A\vec{y}=0$ e $\left \| \vec{x}-\vec{y} \right \|$ é o menor possível, então $\vec{x}-\vec{y}$ está no $Row(A)$.

Estou muito perto disso, alguém pode me ajudar a clarear um pouco meus pensamentos? Aqui está o meu processo, porque$A\vec{y}=0$ e $\vec{y}$ é em $R^n$ então $\vec{y}$ está no Nulo (A), x-ay = x-projeção de x em Col (A), que é igual a perp ColA (x) - Logan 6 minutos atrás

então $\vec{x}-A\vec{y}$está no complemento do espaço de linha de A, usando "o teorema fundamental da álgebra linear" novamente. Como você vai a partir daí? Por favor me ajude!!!!

Answer 1

Existem alguns erros no que você escreveu, mas você essencialmente tem a ideia para a segunda pergunta.

Estamos procurando o ponto $\vec y$ no espaço nulo de $A$ isso é o mais próximo de $\vec x$ possível, que é em outras palavras a projeção de $\vec x$ no espaço nulo de $A$. Pelas propriedades da projeção ortogonal, tal$\vec y$ tem a propriedade que $\vec x - \vec y$ encontra-se no complemento ortogonal ao espaço nulo de $A$.

Pelo teorema fundamental, isso é o mesmo que dizer que $\vec x - \vec y$ encontra-se no espaço da linha de $A$.

---

Quanto a como calcular este vetor: observe que a matriz que se projeta no espaço de linha de $A$ É dado por $A^T(AA^T)^{-1}A$ (assumindo as linhas de $A$são linearmente independentes). Segue-se que a projeção no espaço nulo tem a matriz$$ P = I - A^T(AA^T)^{-1}A. $$ O vetor que buscamos é a projeção de $\vec x$ no espaço nulo, que será simplesmente $\vec y = P \vec x$.

---

Se as linhas de $A$não são linearmente independentes, podemos proceder da seguinte forma. A projeção de$\vec x$ no espaço de linha de $A$ é o vetor $A^T \vec z$, Onde $\vec z$ é a solução dos mínimos quadrados para a equação $A^T \vec z = \vec x$. Em outras palavras, se$\vec z$ é qualquer solução para a equação $$ AA^T \vec z = A \vec x, $$ então $A^T \vec z$ é a projeção de $\vec x$para o espaço da linha. Segue-se que o vetor desejado$\vec y$ é igual a $\vec y = \vec x - A^T\vec z$.