Alguma magia matemática
O mago fará alguma mágica matemática. Ele pede a seu convidado que escolha secretamente qualquer número de dois dígitos e execute uma série de operações nele.
- Se o número for par, divida por 2; se for ímpar, subtraia 3 e depois divida por 2.
- Multiplique por 3.
- Adicione 5.
- Se o número tiver 3 dígitos, subtraia 102.
- Multiplique por 6.
- Subtraia 21.
- Calcule a soma dos dígitos e continue com esta soma. Por exemplo, se você tiver 41, continue calculando com 5 = 4 + 1. *
- Se o número tiver apenas um dígito, multiplique por 2.
- Subtraia 5.
Nesse ponto, o mago revela o número ao qual o convidado chegou após a etapa 9.
Como esse truque funciona?
Editar: * Conforme observado nos comentários, pode acontecer que você tenha um número negativo neste ponto. Nesse caso, simplesmente ignore o sinal de menos na frente. Portanto, por exemplo, a soma dos dígitos de -16 seria 7.
Respostas
O número escolhido está em algum lugar entre $10$ e $99$.
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Após a primeira etapa, temos um número $n$ que está entre $4$ e $48$.
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Após as próximas duas etapas, temos $3n+5$ que está entre $17$ e $147$.
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Após a quarta etapa, temos $3n+5$ ou $3n-97$ que é menos que $100$. Ligue para este novo número$m$; é congruente com$2$ modulo $3$.
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Após as próximas duas etapas, temos $6m-21=3(2m-7)$, que é um número ímpar e um múltiplo de $9$ Desde a $m\equiv2\;(mod\;3)$.
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A soma dos dígitos de um múltiplo de $9$ é sempre um múltiplo de $9$, então, após a próxima etapa, temos $9$ ou $18$ (não pode ser tão alto quanto $27$ uma vez que nada menos que $999$ não terá uma soma de dígitos tão grande).
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Após a 8ª etapa, temos $18$ com certeza.
Então, a resposta final é
$13$. Azarado!