Apoiando um polígono sem triângulos
O gráfico de Laman a seguir representa um quadrado sem triângulos. Dito de outra forma, este é um gráfico rígido de distância unitária sem 3 ciclos. Parece ser o menor exemplo de um polígono reforçado sem triângulo . Acontece que este é um subgrafo do gráfico do cubo da unidade stick .
Que outros polígonos regulares têm construções rígidas sem triângulo?
Respostas
Qualquer estrutura rígida, portanto todos os polígonos regulares, pode ser convertida em um equivalente sem triângulo. Simplesmente encadeando cópias do$12$-vertex quadrado reforçado sem triângulo mostrado na questão (que descobri) ao longo das duas arestas colineares dá um segmento de linha rígida de comprimento de número inteiro arbitrário sem triângulos:
Em seguida, qualquer grade triangular pode ser imitada sem triângulos como segue (todas as bordas fúcsia retas são feitas com a construção de encadeamento de gráfico acima, todas as bordas pretas são bastões simples):
Por exemplo, para proteger o hexágono sem triângulos:
No entanto, o reforço do hexágono acima é bastante grande. Outra abordagem para contraventamento sem triângulo é a aresta virtual : em qualquer incorporação do gráfico cúbico com uma aresta removida, a distância entre os dois graus$2$ vértices (incidentes na aresta ausente) devem ser sempre $1$. Isso leva ao seguinte hexágono regular rígido sem triângulo em$16$ vértices e $29$bordas ( prova de confirmação de Shibuya ):
As duas versões mostradas acima são isomórficas em gráfico teoricamente; suas coordenadas têm os mesmos polinômios mínimos. Em particular, usando a parametrização em Shibuya, o$x$-coordenada de vértice $7$ satisfaz $$12x^2-6(\alpha+2)x+(\alpha^2+4\alpha+1)=0,\ \alpha=\sqrt[3]3$$ $$(864x^6-2592x^5+2808x^4-1296x^3+342x^2-207x+83=0)$$( Obrigado Hulpke por me apontar a função GAP DecomPolyque me permitiu obter o primeiro polinômio.) As linhas esmaecidas na segunda versão mostram que o gráfico rígido está relacionado à ordem$4$ gráfico de hipercubo.
Como um adendo à resposta de Parcly Taxel, suas braçadeiras hexagonais são um subconjunto de uma família 2DOF inteira de braçadeiras hexagonais. Aqui estão dois membros especialmente simétricos desta família. (As linhas pontilhadas indicam separações de unidades que não são incluídas como bordas.)
