Avaliação de limite.

Question

Em N. Piskunov, ele explicou as equações diferenciais tomando o exemplo da resistência do ar atuando em um corpo em queda. Depois de avaliar a equação diferencial, ele obtém uma equação para a velocidade como:$$v = \left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k}.$$

Ele então afirma que se $k = 0$ então a equação se transforma na equação básica: $$v = v_o + gt.$$

Agora eu entendo essa afirmação porque, quando a resistência do ar é zero, a equação da velocidade se mantém. No entanto, não posso provar essa afirmação quando estou avaliando o limite:$$\lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right]$$

Qualquer ajuda avaliando o limite seria apreciada!

Answer 1

Você tem

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] & = \lim_{k \rightarrow 0} \left[v_oe^{-\frac{kt}{m}} - \frac{mg}{k}e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] \\ & = \lim_{k \rightarrow 0} \left[v_{o}e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} \right] \\ \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1A}$$

O limite do primeiro termo, ou seja, $v_{o}e^{-\frac{kt}{m}}$, é simplesmente $v_{o}$. Para o segundo mandato, uma vez que o limite passa a ser, vai para$\frac{0}{0}$, usando a regra de L'Hôpital , dá

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow 0} \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} & = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{mg\left(-e^{-\frac{kt}{m}}\left(-\frac{t}{m}\right)\right)}{1} \\ & = mg\left(\frac{t}{m}\right) \\ & = gt \end{aligned}\end{equation}\tag{2}\label{eq2A}$$

Você também poderia ter usado o fato listado de comentários de perguntas de dnfu para obter o mesmo valor. O resultado combinado de \ eqref {eq1A}, portanto, dá

$$\lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] = v_{o} + gt \tag{3}\label{eq3A}$$

Answer 2

Como alternativa, temos que por limite padrão $\frac{e^x-1}{x} \to 1$ Como $x \to 0$

$$ \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} =gt \,\frac{ e^{-\frac{kt}{m}}-1}{-\frac{kt}m} \to gt \cdot 1= g t$$

e o resultado segue.

Answer 3

Com

$$e^{-\dfrac{kt}{m}}\approx 1-\dfrac{kt}{m},$$

$$\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\dfrac{kt}{m}} + \frac{mg}{k}$$

torna-se

$$v_o+\left(g-\frac{kv_0}m\right)t\approx v_o+gt.$$