Cada elemento é de $\mathbb{R}$ um membro de $\mathbb{Q}$ unido a um número finito de membros de sua base de transcendência?
Recentemente, estive interessado em criar soluções um tanto não construtivas para problemas usando o conceito de uma base de transcendência de$\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{Q}$, que existe assumindo o Axioma da Escolha, mas eu só conheço algumas teorias de campo básicas. Como parte de minha crescente compreensão, pergunto:
Deixei $W$ ser a base da transcendência para $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{Q}$. É verdade que$$\mathbb{R} = \bigcup_{w\subset W, \;w \text{ finite}}\mathbb{Q}(w)$$? E se substituirmos "finito" por "contável"?
Respostas
Talvez eu esteja faltando alguma coisa, mas, citando, por exemplo, esta postagem do MSE :
um conjunto $T$ de elementos de um campo de extensão $k/F$é uma base de transcendência se
- para todos $n$, e distinto $t_{1}, \dots, t_{n} \in T$, não há polinômio diferente de zero $f(X_1,\dots,X_n)\in F[X_1,\dots,X_n]$ de tal modo que $f(t_1,\dots,t_n)=0$;
- $k$ é algébrico $F(T)$.
Então, um elemento como $\sqrt{2}$ não estará em nenhum de seus $\mathbb{Q}(w)$.
Editar . Esta resposta está incorreta. Eu li "base da transcendência" como "base do espaço vetorial". Acho que a resposta de @AndreasCaranti está correta. Vou deixar a minha para que ninguém mais cometa o mesmo erro.
Sim, uma vez que cada elemento de $\mathbb{R}$ é um finito $\mathbb{Q}$- combinação linear de elementos básicos. Isso significa que está na união das extensões correspondentes.