Calculando o exponencial da matriz

Question

Matriz dada $$M = \begin{pmatrix} 7i& -6-2i\\6-2i&-7i\end{pmatrix}$$ como faço para calcular a matriz exponencial $e^M$?

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Eu sei que posso usar isso $e^A=Pe^DP^{-1}$ Onde $D=P^{-1}AP$. Calculei o polinômio característico da matriz acima como

$$P(\lambda)=\lambda^2+89$$

Existe uma maneira mais fácil de fazer isso do que tentar calcular a matriz diagonalizada?

Answer 1

Sua matriz $M$ é diagonalizável com autovalores $\pm i\sqrt{89}$. Isso significa que$e^M = p(M)$ Onde $p \in \Bbb{C}[x]$ é o único polinômio de grau menor que $2$ de tal modo que $$p(i\sqrt{89}) = e^{i\sqrt{89}}, \quad p(-i\sqrt{89}) = e^{-i\sqrt{89}}.$$

Usando a fórmula de interpolação de Lagrange, vemos que $$p(x) = \frac{x+i\sqrt{89}}{2i\sqrt{89}}e^{i\sqrt{89}}-\frac{x-i\sqrt{89}}{2i\sqrt{89}}e^{-i\sqrt{89}} = \frac{\sin\sqrt{89}}{\sqrt{89}}x+ \cos\sqrt{89}$$ então $$e^M = p(M) = \frac{\sin\sqrt{89}}{\sqrt{89}}M+ \cos\sqrt{89}I = \left( \begin{array}{cc} \frac{7 i \sin \sqrt{89}}{\sqrt{89}} +\cos\sqrt{89}& -\frac{(6+2 i) \sin \sqrt{89}}{\sqrt{89}} \\ \frac{(6-2 i) \sin \sqrt{89}}{\sqrt{89}} & -\frac{7 i \sin \sqrt{89}}{\sqrt{89}} +\cos\sqrt{89} \\ \end{array} \right).$$

Answer 2

Via Cayley-Hamilton, ${\rm M}^2 + 89 \, {\rm I}_2 = {\rm O}_2$. Conseqüentemente,

$$\begin{aligned} {\rm M}^2 &= - 89 \, {\rm I}_2\\ {\rm M}^3 &= - 89 \, {\rm M}\\ {\rm M}^4 &= 89^2 {\rm I}_2\\ {\rm M}^5 &= 89^2 {\rm M}\\ &\vdots\\ {\rm M}^{2k} &= (-1)^k 89^k {\rm I}_2\\ {\rm M}^{2k+1} &= (-1)^k 89^k {\rm M} \end{aligned}$$

e

$$\exp({\rm M}) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{{\rm M}^k}{k!} = \cdots = \color{blue}{\cos( \sqrt{89} ) \, {\rm I}_2 +\frac{\sin( \sqrt{89} )}{\sqrt{89}} {\rm M}}$$

Answer 3

Você também pode usar divisões euclidianas para calcular o exponencial, uma vez que você tem o polinômio característico:

$$\forall n\in\mathbb{N}^*,\exists(P_n,R_n)\in\mathbb{R}[X], \deg(R)\leq1, X^n=P_n(X)\times(X^2+89)+R_n(X) $$

Deixei $R_n(X)=a_nX+b_n$, você obtém: $$M^n=a_nM+b_n1 $$

e você obtém os valores de $a_n,b_n$ com: $$(i\sqrt{89})^n=a_ni\sqrt{89}+b_n\\ (-i\sqrt{89})^n=-a_ni\sqrt{89}+b_n$$

Então você obtém: $$b_n=\frac{(i\sqrt{89})^n+(-i\sqrt{89})^n}{2}\\ a_n=\frac{(i\sqrt{89})^n-(-i\sqrt{89})^n}{2i\sqrt{89}} $$

E então você usa a definição: $$e^M=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{M^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_nM+b_n1}{n!} $$

E então você pode concluir a partir daqui.

Answer 4

Via Cayley-Hamilton,

$${\rm M}^2 = - 89 \, {\rm I}_2 = \left( i \sqrt{89} \right)^2 {\rm I}_2$$

Portanto, matriz ${\rm A} := \frac{{\rm M}}{i \sqrt{89}}$é involutório , ou seja,${\rm A}^2 = {\rm I}_2$. Usando a fórmula de Euler ,

$$\begin{aligned} \exp({\rm M}) = \exp \left( i \sqrt{89} {\rm A} \right) &= \cos \left( \sqrt{89} {\rm A} \right) + i \sin \left( \sqrt{89} {\rm A} \right)\\ &= \cos \left( \sqrt{89} \right) {\rm I}_2 + i \sin \left( \sqrt{89} \right) {\rm A}\\ &= \color{blue}{\cos \left( \sqrt{89} \right) {\rm I}_2 + \frac{\sin \left( \sqrt{89} \right)}{\sqrt{89}} {\rm M}}\end{aligned}$$

Onde $\cos \left( \sqrt{89} {\rm A} \right) = \cos \left( \sqrt{89} \right) {\rm I}_2$ e $\sin \left( \sqrt{89} {\rm A} \right)= \sin \left( \sqrt{89} \right) {\rm A}$ Porque ${\rm A}$é involutório .