Cálculo do operador Laplace do tensor de Einstein

Question

Eu sou novo na Relatividade e estou tentando entender este cálculo: $$ (\nabla^\mu G)_{\mu\nu}=0 $$ Onde $G=Ric-\frac{1}{2}\mathcal{R}g $ é o tensor de Einstein, e $\nabla^\mu=\nabla_{\partial^\mu} $, Onde $\partial^\mu=g^{\mu\nu}\partial_\nu $ (não sei se é a notação padrão).

Eu uso linearidade de $\nabla$e os problemas começam no segundo mandato, quando tento aplicar a regra de Leibniz. eu escreveria

$$ (\nabla^\mu G)_{\mu\nu} = (\partial^\mu\mathcal{R})g_{\mu\nu} + \mathcal{R}(\nabla^\mu g)_{\mu\nu} $$

mas minhas notas aparentemente usam isso $$ \mathcal{R}(\nabla^\mu g)_{\mu\nu} = 0 $$porque eles o omitem. É assim? Alguém pode explicar por quê?

PS: Posso escrever besteira, pois sou realmente um novato na área.

Answer 1

$\nabla^\mu g_{\mu\nu}\neq \partial^\mu g_{\mu\nu}$, mas é verdade que $\nabla^\mu g_{\mu\nu}=0$ Porque $\nabla^\mu g_{\mu\nu} = g^{\alpha\mu}\nabla_\alpha g_{\mu\nu}$ e $\nabla_\alpha g_{\mu\nu}=0$já que na relatividade geral você costuma trabalhar com a conexão Levi-Civita , que é compatível com o sistema métrico . Ou seja,$\nabla g=0$.