Campos intermediários da extensão simples $\mathbb{C}(x)$
Dec 26 2020
Deixei $\mathbb{C}(x)$ ser o campo das funções racionais sobre $\mathbb{C}$. Claro$\mathbb{C}(x)$ é uma extensão de campo de $\mathbb{C}$. Minha pergunta agora é: existem campos intermediários entre$\mathbb{C}$ e $\mathbb{C}(x)$? Se sim, o que podemos dizer sobre sua dimensão? É sempre infinito?
Respostas
1 JyrkiLahtonen Dec 26 2020 at 22:44
Um resumo dos comentários (excluindo o resultado de reuniões que eles devem postar separadamente!) Abaixo $K$ representa um campo intermediário arbitrário estritamente entre, $\Bbb{C}\subset K\subset\Bbb{C}(x)$.
- Porque $\Bbb{C}$é fechado algébricamente, não tem extensões algberáticas. Portanto, não há extensões finitas. Portanto$[K:\Bbb{C}]=\infty$.
- Por outro lado, se $u=f(x)/g(x)$ é um elemento arbitrário de $K\setminus\Bbb{C}$, $f,g\in\Bbb{C}[x]$, então $x$ é um zero do polinômio $$ P(T):=f(T)-g(T)u\in K[T]. $$ Portanto $x$ é algébrico $K$. Conseqüentemente$[K(x):K]<\infty$. Mas,$K(x)=\Bbb{C}(x)$, então podemos concluir que $[\Bbb{C}(x):K]<\infty$. Nada mais pode ser dito, pois facilmente vemos que$[\Bbb{C}(x):\Bbb{C}(x^n)]=n$ para cada inteiro positivo $n$, então o grau de extensão pode ser arbitrariamente alto.
- Pelo teorema de Lüroth, todo campo intermediário$K$ é na verdade uma simples extensão transcendental de $\Bbb{C}$. Em outras palavras,$K$ é $\Bbb{C}$-isomorphic to $\Bbb{C}(x)$.
O que significa um erro “Não é possível encontrar o símbolo” ou “Não é possível resolver o símbolo”?
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