Combinações: Por que isso está errado?

Question

Eu quero encontrar o número de diferentes números de 5 dígitos, onde 3 dos dígitos são diferentes. Cada dígito pode ser do conjunto (1,2,3,4,5). Suponha que eu tenha os três dígitos$a,b,c$. Temos que casos

$$a,b,c,a,a \text{ or } a,b,c,a,b$$

No primeiro caso temos $\frac{5!}{3!}$ combinações diferentes e na segunda temos $\frac{5!}{2!2!}$. Desde a$a,b,c$ são inteiros diferentes do conjunto $(1,2,3,4,5)$, um será capaz de levar $5$ valores, um será capaz de tomar $4$ valores, e será capaz de tomar $3$valores. Portanto, o número total de combinações é$(\frac{5!}{3!}+ \frac{5!}{2!2!})\times5\times4\times3=3000$.

No entanto, a resposta à pergunta deve ser $1500$. Alguém sabe onde errei?

É importante notar que eu perguntei algo muito semelhante aqui , porém, a seção de comentários ficou muito grande e também as respostas parecem sugerir que eu uso um método diferente, mas quero saber o que há de errado nisso.

Answer 1

Em ambos os casos, você tem uma contagem dupla: no primeiro, trocando as posições de $b$ e $c$na string e trocando seus valores na atribuição resultará na mesma string de dígitos novamente (por exemplo, 12131pode ser obtido como$abaca$ com $a=1, b=2, c=3$ ou como $acaba$ com $a=1, b=3, c=2$) Há uma contagem dupla semelhante no segundo em relação à troca$a$ e $b$.

Answer 2

Você tem dois casos: 3-1-1 ou 2-2-1.

Caso 3-1-1:

1. escolha os três slots para colocar o dígito repetido: $5\choose 3$.
2. escolha os dígitos duplicados: 10
3. escolha os outros dois juntos $9 \choose 2$

Isso dá 7200 possibilidades.

Lide de forma semelhante com o caso 2-2-1.