Como chegar ao centro deste círculo

Question

Agora percebo que simplifiquei demais o problema em meu último post porque é difícil explicar em palavras.

Este é o problema original contra o qual estou lutando há mais de uma semana:

desenho

Existem duas linhas originando-se da origem. O ângulo de cada linha em relação à diagonal é o mesmo e é conhecido. Um círculo é centralizado na diagonal e apenas um arco de 90 graus do círculo é desenhado entre as linhas. No arco do círculo está um ponto P cujas coordenadas são conhecidas. A dimensão e a localização do círculo não são conhecidas, a única coisa que se sabe é que o ponto P está no arco e o arco é um segmento de 90 graus de um círculo com seu centro na diagonal.

Como posso encontrar as coordenadas do círculo?

Answer 1

Reutilizando a bela imagem e notações de AugSB , você tem

$$\begin{cases} c_x &= (r+c_x)\tan\left(\frac{\pi}{4} -A\right)\\ (p_x-c_x)^2 + (p_y-c_x)^2 &= r^2 \end{cases}$$

como $c_x=c_y=u_y$ e onde o ângulo $A$ é dado em radianos.

O que é equivalente a

$$\begin{cases} r &=c_x \frac{1 - \tan\left(\frac{\pi}{4} -A\right)}{\tan\left(\frac{\pi}{4} -A\right)}\\ (p_x-c_x)^2 + (p_y-c_x)^2 &= r^2 \end{cases}$$

$A$é dada. Substituindo$r$ da primeira equação para a segunda, você obtém uma equação do segundo grau, onde $c_x$ é o único desconhecido como $p_x, p_y$são conhecidos. Resolvendo isso, você obtém o centro desejado$C=(c_x,c_x)$.

Answer 2

Primeiro, vamos identificar todos os elementos:

• A diagonal $d$ é a linha $y=x$.
• O ponto $P$ tem coordenadas $(p_x,p_y)$.
• Os ângulos são definidos por linhas $r_A : y=ax$ e $r_B:y=bx$.
• O círculo cruza as linhas $r_A$ e $r_B$ em pontos $T : (t_x, t_y)$ e $U : (u_x,u_y)$ respectivamente (há mais dois pontos de interseção, mas você deve ser capaz de descartá-los por inspeção).
• Você precisa encontrar o centro $C: (c_x,c_y)$ e o raio $r$ do círculo, que tem a equação: $$(x-c_x)^2 + (y-c_y)^2 = r^2$$

Agora, aqui estão vários pontos-chave que você deve tentar justificar:

• Uma vez que os ângulos com a diagonal são iguais, $b=1/a$. Use o ângulo para deduzir o valor de a.
• O centro fica na diagonal, então $c_x=c_y$.
• $d$ é a bissetriz do ângulo entre as linhas $r_A$ e $r_B$. Use suas propriedades para concluir que$(t_x,t_y)=(c_x,c_x+r)$ e $(u_x,u_y)=(c_x+r,c_x)$.

Finalmente, substituindo as coordenadas nas equações das linhas $r_A$, $r_B$ e o círculo, você deve ser capaz de deduzir os valores de $c_x$, $c_y$ e $r$ em termos de $a$, $p_x$ e $p_y$.

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Etapas detalhadas:

1. A inclinação de $r_A$ é dado pela tangente do anjo em relação ao eixo horizontal: $$a=\tan(\frac{\pi}{4} + A),$$ Onde $A$ é o ângulo entre $d$ e $r_A$. Analogamente, a inclinação de$r_B$ é $$b=\frac{1}{\tan(\frac{\pi}{4} + A)} = \tan(\frac{\pi}{4} - A).$$
2. Desde o centro $(c_x,c_y)$ encontra-se em $d$ (da equação $y=x$) então isso claramente sacia $c_x=c_y$.
3. Os pontos de $d$ são equidistantes de $r_A$ e $r_B$ Porque $d$é a bissetriz do ângulo. Além disso,$\triangle TCU$ precisa ser um triângulo retangular e isósceles (com pernas de comprimento $r$) Então, a única maneira de isso ser possível é$\overline{TC}$ é paralelo ao eixo vertical (de modo que $t_x=c_x$) e $\overline{UC}$ é paralelo ao eixo horzontal (isto é, $u_y=c_y=c_x$)
4. Observe também que $T$ e $U$ deitar no círculo, então a distância para $C$ é $r$. Portanto,$t_y=c_x+r$ e $u_x=c_y+r$.
5. Levando em consideração todas as etapas anteriores, sabendo que $T$ encontra-se em ambos $r_A$ um círculo, suas coordenadas devem satisfazer ambas as equações: $$\begin{cases} c_x + r &= c_x \tan(\frac{\pi}{4} + A),\\ (p_x-c_x)^2 + (p_y-c_x)^2 &= r^2. \end{cases}$$
6. Finalmente, você precisa resolver para $r$ na primeira equação e substitua na segunda: $$(p_x-c_x)^2 + (p_y-c_x)^2 = \left(c_x \tan(\frac{\pi}{4} + A) - c_x\right)^2.$$ Expanda essa expressão para obter uma equação quadrática em $c_x$que deve ser fácil de resolver (veja a fórmula quadrática ) em termos de$p_x$ e $p_y$. O resto dos valores podem ser obtidos substituindo$c_x$ com esse valor.

Answer 3

Uma construção de régua e compasso

Depois da álgebra, vamos voltar à geometria. Aqui está uma construção de régua e compasso .

A construção vem da seguinte ideia básica:

• É fácil construir um arco $A_0$ tendo todas as propriedades necessárias ... exceto que não está passando $P$.
• De tal arco, o arco desejado é aquele obtido como a imagem do arco anterior sob a transformação homotética. $T$.
• A homotetia $T$ é aquele que tem por centro a origem $O$ e isso transforma $P_0$ para dentro $P$.
• Onde $P_0$ é a intersecção entre o arco $A_0$ e a linha $(O, P)$.

Baseie-se nisso, o centro $C$ do arco desejado $A$ é a intersecção da linha paralela a $(C_0, P_0)$ passando através $P$ com a diagonal principal.

Veja a imagem abaixo.

Arquivo Geogebra