Como posso definir este conjunto?

Question

Deixei $A_1,..., A_n$ser uma família de conjuntos de conjuntos. Quero criar um agora definido como o seguinte:

O conjunto $B$ é feito de uniões de todas as combinações possíveis de elementos de qualquer conjunto.

Por exemplo: Let $A_1=\{\{1\},\{2\}\}$, $A_2 = \{\{3\}\}$ e $A_3 = \{\{4\}\}$. Então o set$B$ deveria estar:

$$B=\{\{1\},\{2\}, \{3\},\{4\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\},\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{1,2,3,4\}\}$$

Minha pergunta é: como posso escrever formalmente este conjunto?

Minha abordagem foi a seguinte:

• Primeiro, vamos colocar todos os elementos que queremos combinar no mesmo conjunto: $\bigcup\limits_n A_n$

• Então vamos dar o seu conjunto de potência: $\mathcal P\left(\bigcup\limits_n A_n\right)$
  Neste conjunto de potência, temos todas as combinações que queremos:

Agora podemos definir $B$ Como:

$$B = \left\{ \bigcup_{a \in A} a : A \in \mathcal P\left(\bigcup\limits_n A_n\right)\right\}$$

Minha pergunta é: estou complicando demais? Existe alguma outra forma de definir este conjunto?

Answer 1

$\bigcup_nA_n$ é a coleção de todos os conjuntos dos quais você pode desenhar elementos, então $\bigcup\bigcup_nA_n$ é a coleção de todos os elementos que você pode usar para formar membros de $B$; no seu exemplo

$$\bigcup_nA_n=\big\{\{1\},\{2\},\{3\},\{4\}\big\}\,,$$

e

$$\bigcup\bigcup_nA_n=\{1,2,3,4\}\,.$$

Aparentemente, você deseja apenas os subconjuntos não vazios de $B$, então

$$B=\wp\left(\bigcup\bigcup_nA_n\right)\setminus\{\varnothing\}\,.$$