Complemento ortogonal para função contínua

Question

Pergunta: Suponha$C[−1, 1]$ é o espaço vetorial de funções contínuas de valor real no intervalo $[−1, 1]$ com produto interno fornecido por $\langle f, g\rangle = \int_{a}^b f(x)g(x)dx$

Deixei $U = {f ∈ C[−1, 1] : f(0) = 0}$ ser o subespaço de $C[−1, 1]$. Qual (is) das afirmações a seguir está correta? Justifique sua resposta.

(uma) $C[−1, 1] = U ⊕ U^\bot$

(b) $U^\bot = \{0\}$

(c) $U^\bot$ é um subespaço adequado e não trivial de $C[−1, 1]$

Dificuldade: Tenho certeza de que a opção (b) está correta, mas não consigo escrever uma prova dela. Também sobre a opção (a) é válida para subespaço de dimensão finita, mas não estou correto sobre isso.

Answer 1

Dica: se $g \in U^{\perp}$ então $\int fg=0$ para todos $f \in U$. Deixei$f_n(x)=g(x)$ para $|x| >\frac1 n$, $f_n(0)=0$ e $f_n$ tem um gráfico de linha reta em $[-\frac 1 n ,0]$ assim como $[0, \frac 1 n]$. Então$\int g f_n=0$ e deixando $n \to \infty$ rendimentos $\int g^{2}=0$. Conseqüentemente$g=0$. Isso provou b).

É óbvio de (b) que (a) é falso. A função constante$1$está em LHS, mas não em RHS. (c) também é respondida por (b).