Completude de exponenciais usando análise complexa

Question

A fim de mostrar integridade de $\{ e^{inx} \}_{n=-\infty}^{\infty}$ para $L^2[0,2\pi]$, basta mostrar que, se $f\in L^2[0,2\pi]$ é ortogonal a todos os exponenciais, então $f=0$. Eu acredito que a Análise Complexa pode ser usada para fazer isso, considerando a função$$ F(\lambda)=\frac{1}{e^{-2\pi i\lambda}-1}\int_0^{2\pi}e^{-i\lambda t}f(t)dt. $$ Esboço: para fazer isso, suponha$\int_0^{2\pi}e^{-i\lambda t}f(t)dt=0$ para $\lambda=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots$. Então$F$ tem apenas singularidades removíveis e se estende a toda uma função de $\lambda$. E se$F$ pode ser mostrado como sendo uniformemente limitado em uma sequência aninhada de contornos (quadrados ou círculos, por exemplo), então isso deve ser o suficiente para mostrar que $F$ é uniformemente limitado em $\mathbb{C}$e, portanto, uma função constante. Portanto, haveria uma constante$C$ de tal modo que $$ \int_0^{2\pi}e^{-i\lambda t}f(t)dt = C(e^{-2\pi i\lambda}-1) $$ E essa constante teria que ser $0$. Então, seguir-se-ia que todos os derivados em$\lambda=0$ seria $0$, levando à conclusão de que $\int_0^{2\pi}t^n f(t)dt=0$. Agora, pela aproximação de Weierstrass, seguir-se-ia que$f\equiv 0$.

Tudo isso pode ser tornado rigoroso?

Answer 1

Vou usar $z=x+iy$ ao invés de $\lambda$. Pode-se mostrar que

1. $|F(z)|$ é uniformemente delimitado em círculos de raio $n + 1/2$, $n = 1, 2, 3, \ldots$e
2. $\lim_{n \to \infty } F((n+\frac 12)y) = 0$.

(1) implica que $F$é constante (usando o princípio do módulo máximo e o teorema de Liouville). (2) então implica que$F$ é identicamente zero.

Sem perda de generalidade, podemos assumir que $\Vert f \Vert_2 \le 1$. Então$$ \left| \int_0^{2 \pi} e^{-izt} f(t)\, dt \right|^2 \le \int_0^{2 \pi} | e^{-izt}|^2 \, dt = \int_0^{2 \pi} e^{2yt} \, dt = \frac{e^{4\pi y}-1}{2y} $$ e $$ \left| \frac{1}{e^{-2 \pi i z}-1} \right|^2 = \left| \frac{e^{i \pi z}}{e^{- \pi i z}-e^{i \pi z}} \right|^2 = \frac{4 e^{-2\pi y}}{|\sin(\pi z)|^2} $$ de modo a $$ |F(z)|^2 \le \frac{ 4\sinh(2 \pi y)}{y |\sin(\pi z)|^2} \quad \text{for } z = x+iy , y \ne 0\, . $$

De agora em diante, assumimos que $|z|= n + 1/2$ com um número inteiro positivo $n$.

Caso 1: $|y| \le 1$. Sem perda de generalidade,$0 < y < 1$. A inclinação$\frac{\sinh(2 \pi y)}{y}$ é máximo para $y=1$por causa da convexidade do seno hiperbólico. E$|\sin(\pi z)| \ge 1$ para $|\pi z| = (n+1/2) \pi$é mostrado aqui . Segue que$$ |F(z)|^2 \le 4 \sinh(2 \pi) \, . $$ Por razões de continuidade, isso vale no caso $y=0$ também.

Caso 2: $|y| > 1$. Então$|\sin(\pi z)|^2 = \sin^2(\pi x) + \sinh^2 (\pi y) \ge \sinh^2 (\pi y)$, de modo a $$ |F(z)|^2 \le \frac{4 \sinh(2 \pi y)}{y \sinh^2 (\pi y)} = \frac{4}{y \tanh(\pi y)} \le \frac{4}{y \tanh(\pi)} \, . $$

Essas estimativas juntas mostram que (1) e (2) são verdadeiras.

Answer 2

Isso parece ser exatamente o que Jeff Rauch faz em suas notas “Fourier Analysis from Complex Analysis”, pag.7:

http://www.math.lsa.umich.edu/~rauch/555/fouriercomplex.pdf

A única diferença é que Rauch usa $\sin \pi \lambda$ no lugar do seu $e^{-i2\pi \lambda}-1$. Para obter o limite uniforme chave, ele usa as “desigualdades de Cauchy”, mas para ser honesto, não entendo isso completamente.