Confuso com dimensões e embeddings
Eu sou novo em topologia e peço desculpas antecipadamente por esta questão, talvez, muito simples (ou filosófica).
Sempre pensei em um toro como uma superfície em forma de rosquinha em $\mathbb{R}^3$. No entanto, depois que comecei a estudar topologia, descobri que toro é$S^1 \times S^1$ e é naturalmente definido em $\mathbb{R}^4$. Mas, ao mesmo tempo, como eu entendi, a representação popular em 3D de um toro é uma incorporação em$\mathbb{R}^3$, então, por definição de incorporação, o toro 4d natural é homeomórfico ao toro 3D facilmente visualizado.
Quando tomamos o quociente de um quadrado (identificando os lados) para construir um toro, não estamos nos enganando visualizando isso em $\mathbb{R}^3$, já que acabamos de obter uma "fatia" de um toro 4d real. Posso ter respondido minha própria pergunta aqui, afirmando que a incorporação é um homeomorfismo, mas ainda quero entender quais são as conexões entre dimensão, incorporação e homeomorfismo .
Torus é bidimensional, já que 2 pontos são suficientes para defini-lo (um ponto para cada $S^1$), mas cada círculo é naturalmente apresentado em $\mathbb{R}^2$, então precisamos $\mathbb{R}^4$.
Estamos perdendo "informações" quando "projetamos" o toro de $\mathbb{R}^4$ para $\mathbb{R}^3$? É apenas perda visual ou também topológica?
Eu posso me imaginar levando 3 bolas $\mathbb{R^3}$ e "reduzi-lo" a 2 bolas (disco) em $\mathbb{R}^2$ de $z \to 0$. Durante esta transição de$\mathbb{R}^3$ para $\mathbb{R}^2$ obviamente perdemos informações visuais e topológicas (n-ball é homeomórfico para m-ball $\iff$ n = m).
O homeomorfismo preserva a dimensão "interna", mas não "se preocupa" com o espaço externo (extrínseco)?
Respostas
Eu realmente não vejo o toro 'natural' como $S^1 \times S^1$ sentado em $\mathbb{R}^4$. Existem várias maneiras equivalentes (leia-se: homeomórficas) de ver o toro, uma das quais é a conhecida imagem do 'donut'. Dois outros seriam tão$S^1 \times S^1$ sentado em $\mathbb{R}^4$, ou como quociente do quadrado, conforme você indicou.
O ponto principal é que, para um matemático, o toro é um objeto por si só . Se existe um espaço euclidiano ambiente no qual você pode incorporá-lo é, em certo sentido, irrelevante. É apenas um conjunto de pontos junto com uma coleção de 'subconjuntos abertos' que definem sua forma.
Para responder às suas perguntas: dado um espaço topológico (por exemplo, o espaço $X$que é o quociente do quadrado, identificando os lados opostos que carregam a topologia do quociente), podemos tentar visualizá- lo incorporando -o em um espaço euclidiano. Uma incorporação do espaço topológico$X$ no espaço euclidiano $\mathbb{R}^n$ é apenas um mapa $\phi: X \rightarrow \mathbb{R}^n$ de tal modo que $\phi: X \rightarrow \phi(X)$ é um homeomorfismo.
Então, acontece que $X$ pode ser incorporado em $\mathbb{R}^3$, mas também em $\mathbb{R}^4$. Pense nisso como 'realizações' de$X$em algum espaço ambiente maior. Ambas as realizações são homeomórficas para$X$(duh, por definição do que é uma incorporação), então eles também são homeomórficos um ao outro. Assim, nenhuma informação é perdida.
Não é correto pensar na imagem "donut" do toro como uma versão projetada da realização em $\mathbb{R}^4$. Não há projeção em andamento (como quando você projeta um cilindro vertical em 3D para uma fatia de círculo no plano horizontal). O donut não é uma fatia 3D da forma 4D, tem a mesma forma .
Você está correto ao dizer que a dimensão do toro é $2$. Esta dimensão também é independente do espaço ambiente. O homeomorfismo, portanto, preserva essa dimensão, e não se preocupa com a dimensão extrínseca. Há uma pequena advertência aqui: é muito difícil definir o que 'dimensão' significa para um espaço topológico, então provar a afirmação de que o toro tem dimensão 2 é difícil.