Conjunto limitado e função contínua

Question

Deixei $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ contínuo em $\mathbb{R}^n$. Eu quero provar que se$X \subset \mathbb{R}^n$ é um conjunto limitado, então $f(X) \subset \mathbb{R}^m$ também é limitado.

Eu sei disso $\overline{X}$, o fechamento de X, seria compacto, e então $f(\overline{X})$deve ser compacto também. então$f(X) \subset f(\overline{X})$ deve ser claramente delimitado.

Mas eu tenho que provar essa proposição sem usar qualquer compactação .

Alguma pista?

Answer 1

Suponha que $f$é ilimitado. Então, para cada$^k\in\Bbb N$, há algum $p_k\in X$ de tal modo que $\|f(p_k)\|\geqslant k$.

Agora, vamos escrever $p_k$ Como $(a_{1k},a_{2k},\ldots,a_{nk})$. Desde a$X$ é limitada, a sequência $(a_{1k})_{k\in\Bbb N}$ tem uma subsequência convergente $(a_{1k_j})_{j\in\Bbb N}$; deixei$a_1$ser seu limite. A sequência$(a_{2k_j})_{j\in\Bbb N}$também é limitado; então, ele tem uma subsequência convergente$(a_{2l_j})_{j\in\Bbb N}$; deixei$a_2$ser seu limite. E você ainda tem$\lim_{j\to\infty}a_{1l_j}=a_1$.

Depois de ter feito isso $n$ vezes, você obtém uma subsequência $(p_{r_k})_{k\in\Bbb N}$ que converge para $a=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$. Mas então, desde$f$ é contínuo, $\lim_{k\to\infty}f(p_{r_k})=f(a)$. Isso é impossível, pois$\|f(p_{r_k})\|\geqslant r_k\geqslant k$ para cada natural $k$ e portanto $\lim_{k\to\infty}\|f(p_{r_k})\|=\infty$.

Answer 2

Deixei $x \in \mathbb{R}^n$ e $f$ uma função contínua em $\mathbb{R}^n$, suponha $f$ é ilimitado, portanto, você tem alguma sequência $x_n$ dentro $X$ para o qual o limite de $f(x_n)$ como n vai para o infinito é $\infty$. Como f é contínuo em todos os lugares, segue-se que o fechamento de X deve ser ilimitado. No entanto, é fácil mostrar que o fechamento de um conjunto limitado é limitado em$\mathbb{R}^n$