Contagem excessiva com simetria

Question

Uma comissão do Senado tem $5$ Democratas e $5$Republicanos. De quantas maneiras eles podem se sentar ao redor de uma mesa circular se todos os membros de cada partido se sentarem lado a lado? Duas disposições de assentos são consideradas iguais se, para cada pessoa, à sua esquerda for igual em ambas as disposições.

Minha abordagem:

Podemos organizar cada grupo em $5!$maneiras. Podemos organizar o grupo como um todo em$2!$ maneiras, isto é $RD$ e $DR$. Eu sei que parece ser o mesmo por causa da disposição circular. Porém, eu quero superar as simetrias tanto quanto possível para que possamos dividir de uma vez. Isso nos leva a$5!\times 5!\times 2$. Agora cada arranjo é contado$10$ vezes ($10$rotações). Isso leva à minha resposta$\dfrac{5!\times 5!\times 2}{10}$. Eu acredito que isso está errado porque para o caso simples de$2$ Democratas e $2$ Republicanos, essa abordagem leva a $2$arranjos. Mas, pode ser facilmente verificado que existem$4$arranjos possíveis. Alguém pode me ajudar a descobrir o erro e a resposta correta?

Answer 1

Uma vez que cada arranjo é completamente determinado pela ordem de cada parte dentro de seu bloco, $5!\cdot5!$já conta cada arranjo exatamente uma vez. Esse mesmo arranjo pode ocorrer em qualquer um dos$10$ posições ao redor da mesa, então se você realmente quiser fazer uma contagem em excesso e depois se livrar da contagem em excesso, você deve ter $10\cdot5!\cdot5!$arranjos que são diferenciados não apenas pela ordem das pessoas ao redor da mesa, mas por suas posições absolutas na mesa. Então você iria dividir por$10$ levar em consideração o fato de que arranjos rotacionalmente equivalentes não são distinguidos, então você obteria $\frac{10\cdot5!\cdot5!}{10}$ arranjos.