Convergência uniforme de integral

Question

Estou tentando entender isso pela primeira vez. Tenho que verificar se$\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx$é uniformemente convergente ou não. Meu palpite é que não é convergente se$\alpha \in ]0,\infty[$mas não tenho 100% de certeza se provei que estava certo ou como prová-lo. Então o que fiz foi:

Vamos supor que seja uniformemente convergente. Então há um$p \in \mathbb{N}$ de tal modo que $\forall \alpha \in]0,\infty[$ $$\left\lvert \int_{p}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx \right\lvert < something$$ não tenho certeza de qual número colocar em "algo" para uma contradição.

E se isso for verdade, então a função $$f(\alpha)= \int_{p}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx \hspace{0.1cm} , \alpha \in ]0,\infty[$$é limitado. Eu sei disso$\lim_{\alpha \to 0} f(\alpha)$não existe. Isso é uma contradição? Por que isso contradiz o fato de que$f$é limitado? (E se$\lim_{\alpha \to 0} f(\alpha) = \infty$ Eu não teria dúvidas, mas não - o limite simplesmente não existe, então não sei como justificar).

Espero que minha dúvida tenha sido clara. Obrigado!

Answer 1

O integral é uniformemente convergente para $\alpha \in [a,\infty)$ Onde $a > 0$ pelo teste M de Weierstrass, mas não em $(0,\infty)$.

Para a primeira integral, com $\alpha_n = (2n\pi + \pi)^{-1} \in (0,\infty)$ temos

$$\left|\int_{2n\pi}^{2n\pi+\pi} e^{-\alpha_nx_n} \sin x \, dx\right|\geqslant e^{-(2n\pi+\pi) \alpha_n}\int_{2n\pi}^{2n\pi+\pi} \sin x \, dx = 2 e^{-(2n\pi+\pi)\alpha_n}= 2e^{-1}$$

Uma vez que o RHS não converge para $0$ Como $n \to \infty$, o critério de Cauchy para convergência uniforme é violado.