Definição definitiva positiva

Question

Estou olhando as notas sobre http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~s.settepanella/teachingfile/Calculus/Calculus1/pagine/lecture8.pdf.

Diz que o seguinte é equivalente para um simétrico $H$:

(1) $H$ é definido positivo.

(2) $x^THx > 0$

(3) $\lambda_i(H) > 0$

(4) $\det(H) > 0$ ! ??????

(5) Entradas diagonais de $H_{ii}$ são positivos! ?????

(4) e (5) não parecem pertencer. (4) é uma condição necessária para$H$para ser definido positivamente, mas não suficiente. Considere um$2 \times 2$matriz com 2 valores próprios negativos. A matriz não é definida positiva, mas tem um determinante positivo. Na verdade, nunca ouvi falar de (5) antes, a menos que estejamos falando sobre matriz diagonal. Este também não está errado?

Answer 1

(4) é falso. Para um contra-exemplo, considere$H = -I$ Onde $I$ é o $2\times 2$matriz de identidade. Então, para qualquer diferente de zero$x$, temos $x^T H x = -x^T x < 0$, então $H$ não é definido positivamente.

(5) também é falso. Considerar$H = \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$, que tem determinante $-3$. Isso significa que um de seus autovalores é negativo; em particular,$\lambda = -1$ é um autovalor com, por exemplo, autovetor $x = \displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}$. Então$x^T H x = x^T(Hx) = x^T(\lambda x) = -x^T x < 0$, então $H$ não é definido positivamente.