Derivado de Bessel $K$

Question

Estou interessado na primeira derivada de Bessel $K$função em relação ao seu parâmetro. Usarei a seguinte notação;$K^{(1,0)}(n,z):= \frac{\partial}{\partial \nu} K_\nu(z) \bigg|_{\nu = n}$

Eu dei uma olhada em algumas expressões diferentes para $K^{(1,0)}$, por exemplo aqui: https://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselK/20/01/01/

As expressões me parecem bastante violentas; envolvendo somas infinitas sobre um monte de funções gama e funções digamma, etc. Não tenho muita experiência em manipular esses tipos de série.

No entanto, essas expressões são para geral $n\in \mathbb{Z}$ ou $n \notin \mathbb{Z}$, e atualmente estou interessado apenas em $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$. eu sei que$K_{\frac{1}{2}}(z)$ simplifica significativamente em comparação com um $K_\nu(z)$, então eu sinto que pode haver alguma esperança de que $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$ também poderia simplificar em comparação com $K^{(1,0)}(n,z)$.

Alguém sabe se é possível dar uma expressão simplificada para a derivada $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$ do Bessel $K$ função?

Answer 1

Esta derivada é tabulada explicitamente ( DLMF ) \ begin {equation} \ left. \ Frac {\ partial K _ {\ nu} \ left (x \ right)} {\ partial \ nu} \ right | _ {\ nu = \ frac {1} {2}} = \ sqrt {\ frac {\ pi} {2x}} E_ {1} \ left (2x \ right) e ^ {x} \ end {equation} onde \ begin {equation} E_ { 1} \ left (z \ right) = \ int_ {z} ^ {\ infty} \ frac {e ^ {- t}} {t} \ mathrm {d} t \ end {equation} é a integral exponencial.