Derivando uma série de poder

Question

Quero encontrar a função representada por $\sum_{k=1}^{\infty} k^2z^k$.

Aqui está o que fiz até agora:

começando com $\sum_{k=1}^{\infty}z^k = \frac{z}{1-z}$como definição de uma série geométrica. Podemos então tomar a derivada da série e multiplicá-la por z, resultando$\sum_{k=1}^{\infty}kz^k = \frac{z}{(1-z)^2}$. Repetindo este processo, obtemos$\sum_{k=1}^{\infty}k^2z^k = \frac{z}{(1-z)^2} + \frac{2z^2}{(1-z)^3}$.

O índice tem que mudar quando integramos isso, ou esta é a solução final e nada muda?

Answer 1

Existe uma maneira de evitar essa questão da reindexação.

Vou tornar isso um pouco mais difícil com $\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k$.

Escreva $$k^3=k(k-1)(k-2)+a k(k-1)+b k +c$$ quer dizer $$c+k (-a+b+2)+(a-3) k^2=0$$ do qual $a=3$, $b=1$ e $c=0$. então$$\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k=\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)(k-2)z^k+3\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)z^k+\sum_{k=1}^{\infty}kz^k$$ que pode escrever $$\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k=z^3\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)(k-2)z^{k-3}+3z^2\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)z^{k-2}+z\sum_{k=1}^{\infty}kz^{k-1}$$ quer dizer $$\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k=z^3\left(\sum_{k=1}^{\infty}z^k\right)'''+3z^2\left(\sum_{k=1}^{\infty}z^k\right)''+z\left(\sum_{k=1}^{\infty}z^k\right)'$$