Distribuindo 3 objetos em 5 caixas

Question

De quantas maneiras 3 objetos podem ser distribuídos em 5 caixas de modo que nenhum objeto vá para a mesma caixa.

Meu raciocínio é o seguinte:

Visto que não podem estar 2 objetos na mesma caixa, cada caixa possui um objeto único, portanto, apenas 3 caixas podem ser adquiridas de uma vez. Organizar 5 caixas com 3 de uma vez é 5.4.3 = 60 maneiras.

Mas observe, para cada uma dessas 60 maneiras, os 3 objetos podem ser dispostos em 3! Maneiras.

Assim, total de caminhos = 60,3!

Mas o livro argumenta o seguinte:

Uma vez que existe uma correspondência 1-1 entre distribuições de 3 objetos em 5 caixas com a condição declarada. Assim, o número necessário de tais distribuições é p (5,3) = 60 maneiras

Quais são as lacunas no meu raciocínio. o que estou perdendo?

Answer 1

Imagine que há apenas $3$ caixas e $3$ bolas, cada uma etiquetada, as caixas A, B, C e as bolas 1,2,3.

De quantas maneiras podemos organizar esses objetos com uma bola em cada caixa?

É apenas $6$. Você afirmou que a resposta é$36$, porque podemos reorganizar as caixas $3!=6$ maneiras e também podemos reorganizar as bolas em $3!=6$ para um total $36$ arranjos diferentes.

Mas nem todos são diferentes. Se tivermos caixas BCA e bolas 123, será o mesmo que ABC 312 ou CBA 213.

Então, fixamos um dos conjuntos de objetos, digamos as caixas, como ABC, e colocamos as bolas neles, e podemos fazer isso $6$ maneiras ($123,132,213,231,312,321$)

Então nós escolhemos $3$ caixas de $5$, e há $\binom53=10$maneiras de fazer isso. Fixe o conjunto particular de caixas, e há$6$maneiras de colocar as bolas, e usando o princípio da multiplicação , existem$10\cdot6=60$ maneiras no total.

Answer 2

Para o primeiro objeto existem 5 caixas diferentes e para o segundo existem 4 caixas diferentes e para o terceiro há 3 caixas diferentes. (Nenhuma delas na mesma caixa)

Pelo princípio de multiplicação $5\times4\times3=60$

Ou

$P(5;3)=60$