É o dirac $\delta$-função necessariamente simétrica?
The Dirac $\delta$-função é definida como uma distribuição que satisfaz essas restrições:
$$ \delta (x-x') = 0 \quad\text{if}\quad x \neq x' \quad\quad\text{and}\quad\quad \delta (x-x') = \infty \quad\text{if}\quad x = x'$$
$$\int_{-\infty} ^{+\infty} \delta(x-x')\, dx = 1 $$
Alguns autores também colocam outra restrição de que Dirac $\delta$-função é simétrica, ou seja, $\delta(x)=\delta(-x)$
Agora, minha pergunta é: precisamos impor separadamente a restrição de que o Dirac $\delta$-função é simétrica ou vem automaticamente de outras restrições?
Bem, para ilustrar minha consulta claramente, vou definir uma função como esta: $$ ξ(t)=\lim_{\Delta\rightarrow0^+} \frac{\frac{1}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}+\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}-\frac{1}{2}\right)}{\Delta} $$ Onde ${\rm rect}(x)$ é definido como: $$ {\rm rect}(x)= 1 \quad\text{if}\quad |x| < \frac{1}{2} \quad\quad\text{and}\quad\quad {\rm rect}(x)= 0 \quad\text{elsewhere}. $$ $ξ(t)$ certamente não é simétrico, mas satisfaz as seguintes condições, $$ ξ(t)= 0 \quad\text{if}\quad t \neq 0 \quad\quad\text{and}\quad\quad ξ(t)= \infty \quad\text{if}\quad t = 0$$ $$\int_{-\infty} ^{+\infty} ξ(t)\,dt = 1 $$
Agora, minha pergunta é, podemos definir $ξ(t)$ como função Dirac Delta ou não?
Respostas
A "função delta" não é uma função, mas uma distribuição. A distribuição é uma receita de como atribuir um número a uma função de teste. Essa distribuição pode, mas não precisa, ter valores de função no sentido comum. No caso de distribuição delta, não possui valores de função.
Então afirmação como
$$ \delta(x) = \delta(-x) \quad\text{for all }x \tag{*} $$ significando "valor de $\delta$ em $x$ é igual ao valor de $\delta$ em $-x$"não tem sentido / é inválido.
Mas declaração $$ \int dx~ \delta(x) f(x) = \int dx~\delta(-x) f(x) \quad \text{for all functions }f \tag{**} $$ pode ser válido.
Você pode verificar facilmente que a função de $\Delta$ e $x$ (a expressão após o sinal de limite na definição de $\xi$) não satisfaz nenhuma dessas duas afirmações (no papel de $\delta$) Portanto, não é "simétrico".
A distribuição delta pode hipoteticamente satisfazer apenas a segunda declaração. É assim?
Podemos avaliar os dois lados da igualdade. O lado esquerdo tem valor, por definição de$\delta(x)$, $f(0)$.
Podemos transformar a integral do lado direito em $$ \int dx~\delta(-x) f(x) = \int dy~\delta(y) f(-y) $$ Por definição de $\delta(y)$, o valor desta integral é $f(0)$, o mesmo que o lado esquerdo. Então (**) está satisfeito.
A equação $\delta(x) = \delta(-x)$ é, portanto, conseqüência da definição de $\delta(x)$, não é uma suposição independente.
Sua função $\xi$ pode realmente obedecer à segunda declaração também (e, portanto, ser simétrico nesse sentido), mesmo que o $\Delta$-expressão dependente após o sinal de limite não. Isso é semelhante para outras aproximações de distribuição delta; a aproximação pode não ter propriedades de$\delta$ (como simetria), mas o limite sim.
O símbolo $$\delta(x\!-\!y)\tag{A}$$ com dois argumentos $x,y\in\mathbb{R}$é uma notação de kernel informal para a distribuição Dirac delta $$u~\in~ D^{\prime}(\mathbb{R}^2)\tag{B}$$ definido como
$$u[f]~:=\int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}z~f(z,z)\tag{C}$$
para funções de teste $$f~\in~ D(\mathbb{R}^2).\tag{D}$$ Conclui-se que o delta de Dirac definido como acima é simétrico $$ \delta(x\!-\!y)~=~\delta(y\!-\!x), \tag{E}$$cf. Pergunta do título do OP.
A função delta é uma distribuição definida em um conjunto de funções. Os matemáticos geralmente expressam isso usando a notação bra-ket, onde a função delta é o sutiã$<\delta|$ e $$<\delta| f> = \int \delta(x) f(x) dx = f(0)$$
Se você estivesse falando do conjunto de funções contínuas, acredito que não precisaria do requisito de simetria. Mas geralmente não é esse o caso. Na mecânica quântica, usamos o conjunto de funções quadradas integráveis; este é um requisito leve, que permite descontinuidades.
Agora, se você está considerando funções que podem ser descontínuas em zero, então você precisa definir explicitamente o que fazer, a distribuição delta simétrica deve ser
$$ <\delta | f > = \frac{f(0^+)+f(0^-)}2 $$
e você poderia ter outras "funções delta" diferentes que funcionam da mesma forma em funções contínuas, mas funcionam de forma diferente no caso de descontinuidade.
BÔNUS: na mecânica quântica unidimensional, você tem todo um conjunto de "barreiras potenciais semelhantes a delta" definidas pelas várias maneiras de conectar $\Psi'(0^+),\Psi(0^+)$ para $\Psi'(0^-),\Psi(0^-)$. A nomenclatura é um pesadelo aqui, devido a erros nos livros didáticos. Cada "delta" ou "barreira apoiada em um único ponto" pode ser vista como uma regra para unir os intervalos$(-\infty, 0)$ e $(0, \infty)$.