É o $S^1$ cone $D^2$?

Question

Deixei $X$ seja um espaço topológico, deixe $Y=X \times [0,1]$ e $A=X \times \left \{ 0 \right \} \subset Y$. o cone em X é o espaço$\left \{ X \times [0,1] \right \}/\left \{ X \times \left \{ 0 \right \} \right \}$.

Agora deixe $X=S^1$, meu objetivo é provar que o cone $X$ é homeomórfico para $D^2$, Onde $D^2$ é o disco fechado unitário em $\Bbb R^2$. Basicamente, este cone é obtido a partir de um cilindro pela contração da base inferior até um ponto.

Usando as coordenadas polares, podemos estabelecer um mapa $f: \left \{ X \times [0,1] \right \}/\left \{ X \times \left \{ 0 \right \} \right \} \rightarrow D^2$ definido como $f(\theta, \rho)= \rho(\cos \theta, \sin \theta)$.
Este mapa é contínuo, injetivo e sobrejetivo, mas como provar que é um homeomorfismo?

Answer 1

Mostrar $f$ é um homeomorfismo sem usar compactação, você pode construir explicitamente o inverso de $f$, a saber $$ g(x, y) = [t(x, y), \sqrt{x^2 + y^2}] $$ onde colchetes denotam classe de equivalência, e $$ t(x, y) = \begin{cases} 0 & (x, y) = (0,0) \\ \frac{\pi}{2} & x = 0, y > 0\\ \frac{3\pi}{2} & x = 0, y < 0\\ \arctan(y/x) & x > 0 \\ \pi + \arctan(y/x) & x < 0 \end{cases} $$ onde cada um desses valores deve ser considerado um número (mod $2\pi$), portanto, um elemento de $S^1$.

A continuidade de $g$ é bem claro em todos os lugares, exceto ao longo do $y$-eixo. Para eles, você precisa mostrar que$g^{-1}(U)$ está aberto sempre $U$ está aberto no domínio, o que significa escrever uma maneira de descrever conjuntos abertos no quociente, o que é uma dor de cabeça, mas você pode fazê-lo.