E se $fg$ é contínuo em $a$ então $g$ é contínuo em $a$.

Question

Suponha que $f$ e $g$ são definidos e com valor finito em um intervalo aberto $I$ que contém $a$, este $f$ é contínuo em $a$, e essa $f(a) \neq 0$. E se$fg$ é contínuo em $a$ então $g$ é contínuo em $a$.

$\underline{Attempt}$

Desde a $f$ é conituoso em $a$ e $fg$ contínuo em $a$,

$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a) \text{ and } \lim_{x\to a}f(x)g(x)=f(a)g(a)$$

assim

$$\lim_{x\to a} {f(x)g(x)} = \lim_{x\to a}f(x) \lim_{x\to a}g(x)=f(a)\lim_{x\to a}g(x)=f(a)g(a)$$

Desde a $f(a) \neq0$

$$\lim_{x\to a}g(x)=g(a)$$

$\therefore g$ é contínuo em $a$

Answer 1

Sua prova não está correta. Você está assumindo a existência de$\lim_{ x \to a} g(x)$mas você tem que provar a existência desse limite. Escrever$g(x)$ Como $\frac 1 {f{(x)}} {g(x)f(x)}$ observando isso $f(x) \neq 0$ E se $|x-a| $é pequeno o suficiente. Agora você pode ver que o limite existe e é igual$\frac {f(a)g(a)} {f(a)}=g(a)$.

[Existe $\delta >0$ de tal modo que $|x-a| <\delta$ implica $|f(x)-f(a)| <\frac {|f(a)|} 2$. assim$|x-a| <\delta$ implica $|f(x)| >|f(a)| -\frac {|f(a)|} 2=\frac {|f(a)|} 2>0$ e entao $f(x) \neq 0$]