É verdade que $V^{\,T}SV=\Lambda$?
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Uma matriz simétrica $S=S^T$ tem autovetores ortonormais $\vec{v}_1$ para $\vec{v}_n$. Então, qualquer vetor$\vec{x}$ pode ser escrito como uma combinação $\vec{x} = c_1 \vec{v}_1+ \cdots + c_n \vec{x}_n$. Explique esta fórmula:$\vec{x}^{\,T}S\vec{x} = \lambda_1 c_1^2+ \cdots + \lambda_nc_n^2$
Minha explicação:
$\vec{x}$ pode ser escrito como $$ \begin{bmatrix} \vec{v}_1 & \cdots & \vec{v}_n \end{bmatrix}_{nxn} \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}_{\,nx1} = V\vec{c} $$ Considerar, $$ \vec{x}^{\,T}S\vec{x} = \vec{c}^{\,T}(V^{\,T}SV)\vec{c} = \vec{c}^{\,T}\Lambda\vec{c} = \lambda_1 c_1^2 + \cdots + \lambda c_n^2 $$ Vemos que autovetores ortonormais de $S$multiplique para fazer a matriz diagonal de autovalores. Em seguida, acabamos com o produto interno das ponderações do vetor, o$c^2$ termos, escalados por seus respectivos autovalores.
Eu me sinto muito bem com minha explicação. Só a parte que não entendo totalmente é por que$V^{\,T}SV=\Lambda$... Parece-me que deveria ser igual a algo mais na linha de $\Lambda^T \Lambda$ já que cada autovetor deveria ter sido escalado quando multiplicado à direita porque $A\vec{v} = \lambda \vec{v}$.
É verdade que $V^{\,T}SV=\Lambda$? Se for, uma ajudinha para ver por que seria apreciada.
Uma maneira que pensei sobre isso.
$$ V^TSV = V^T(SV) = V^T \begin{bmatrix} \lambda_1 \vec{v_1} & ... & \lambda_n \vec{v_n} \end{bmatrix} $$ A maneira de pensar sobre $SV$ é que cada coluna de $V$ é um autovetor que multiplica as colunas de $S$. Já sabemos o que esta combinação será igual pela definição de um autovetor$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$. Finalmente, quando certo multiplicar por$V^T$ lembre-se disso $\vec{v}_i^{\,T}\vec{v_j}=1$ é $1$ quando $i=j$ e $0$ quando $i\neq j$ por definição de serem vetores ortonormais.
Claramente acabamos com $\Lambda$ como resultado.
Respostas
Sim é verdade que $V^TSV = \Lambda$. Existem várias maneiras de entendermos por que isso acontece; uma maneira é comparar o que cada matriz "faz" com um vetor coluna.
Deixei $\vec c$ denotam o vetor coluna $\vec c = (c_1,\dots,c_n)$. Verifique isso$\Lambda \vec c = (\lambda_1 c_1,\dots,\lambda_n c_n)$.
Agora, consideramos o produto $V^TSV \vec c = V^T(S(V\vec c))$. Nós encontramos isso$$ V \vec c = \pmatrix{\vec v_1 & \cdots & \vec v_n} \pmatrix{c_1 \\ \vdots \\ c_n} = c_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \vec v_n. $$ Colocando as coisas de outra forma, o papel do $V$ é interpretar as entradas de $\vec c$ como os coeficientes dos vetores $\vec v_1,\dots,\vec v_n$. A partir daí, vemos isso porque cada$v_i$ é um autovetor de $S$, temos $$ S(V\vec c) = S(c_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \vec v_n) = c_1 \lambda_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \lambda_n \vec v_n. $$ Finalmente, observe que (porque $V$ é ortogonal) $V^T$ é o inverso de $V$. Então, assim como$V$ interpreta o "vetor de entrada" como uma lista de coeficientes para o $v_i$, $V^T$ pega um vetor e nos dá a lista de coeficientes para o $v_i$como sua saída. Isso é,$$ V^T(S(V\vec c)) = (c_1 \lambda_1) \vec v_1 + \cdots + (c_n \lambda_n) \vec v_n = (c_1 \lambda_1,\dots,c_n \lambda_n). $$ Então, de fato, $V^TSV$ e $\Lambda$ descrevem a mesma transformação e, portanto, são a mesma matriz.
Podemos pensar em $V^TSV$ como uma versão alterada de $S$ onde, em vez de pensar nas entradas de um vetor (tanto de entrada quanto de saída) como as coordenadas literais de um vetor, nós as interpretamos como os coeficientes de nossos vetores $v_i$. Em termos de terminologia que você já deve ter ouvido antes, dizemos que$\Lambda$ é a matriz de $S$ "após uma mudança de base".