Encontre o máximo / mínimo global em uma área retangular
Encontre todos os pontos globais máximos / mínimos desta função:
$$f(x,y) = (x-3)^2 + (y-4)^2 + 100$$
Em um retângulo com vértices:
$$(-2,-1), (3,-1), (-2,1) , (3,1)$$
Tentei desenhar este retângulo e consegui:
$$ [-2,3] \times [-1, 1] $$
Calculei as derivadas parciais:
$f_x = 2(x-3) = 0 \Rightarrow x = 3$
$f_y = 2(y-4) = 0 \Rightarrow y = 4$
E então eu percebi que o único ponto é $(3,4)$
Que não está no retângulo ... portanto, não há pontos máximos / mínimos globais? Acho que essa é uma abordagem errada, agradeceria sua ajuda!
Obrigado!
Respostas
Encontrar pontos onde $f_x = 0$ e $f_y = 0$dá a você todos os extremos locais no interior da região$[-2, 3] \times [-1, 1]$, ou seja, o retângulo aberto $(-2, 3) \times (-1, 1)$. O que você mostrou é que não há extremos locais no interior. No entanto, ainda pode haver máximos / mínimos no limite do retângulo. (Na verdade, porque$[-2, 3] \times [-1, 1]$ é compacto, a análise nos diz que podemos encontrar um máximo e um mínimo globais.)
Para encontrar esses máximos e mínimos globais, você precisa examinar quais valores $f$ assume o limite do retângulo $[-2, 3] \times [-1, 1]$. Quando é o menor / maior?
Por exemplo, podemos primeiro olhar para a borda inferior do retângulo. Este é o conjunto de pontos$\{ (a, -1): a \in [-2, 3] \}$. Nesta região nossa função$f$ assume os valores
$$f(x, -1) = (x- 3)^2 + (-1 - 4)^2 + 100 = x^2 - 6x^2 + 134$$
Desde a $y$ é sempre $-1$na borda inferior do retângulo. A partir daqui, você pode usar o cálculo de variável única para calcular o (s) valor (es) de$x$ dentro $[-2, 3]$ para qual $f$ é mínimo / máximo.
Em seguida, faça o mesmo para os outros lados.
(Editar: assim como você deve verificar as bordas do retângulo além de seu interior, você deve verificar as "bordas" dos lados (ou seja, os quatro cantos) além dos próprios lados! Em outras palavras, não não se esqueça de calcular f em cada um dos quatro cantos e ver se dá um ponto extremo.)
O fato de o ponto que você encontrou não estar no retângulo significa que, se olharmos para a função geral, o ponto máximo / mínimo não está no retângulo. No entanto, estamos olhando apenas para uma pequena região da função - aquela que é limitada pelo retângulo.
Se você puder imaginar o gráfico de qualquer função limitada por esse retângulo, notará que certamente tem um máximo e um mínimo em algum lugar na borda. No cálculo de variável única, isso é explicado pelo teorema do valor extremo.
Então, você deve encontrar os pontos máximo e mínimo das quatro linhas que resultam da intersecção da função e os planos y = 1, y = -1, x = -2 e x = 3. Esses planos são a extensão de os lados do retângulo.
Se você tiver mais perguntas, terei todo o gosto em ajudar.
Você está no caso clássico em que os extremos estão situados na fronteira, portanto, não adianta aniquilar as derivadas parciais.
Pense geometricamente: seu problema trata da interseção de um parabolóide $P$ cujo ápice está em $(3,4,100)$ e eixo definido por $x=3,y=4$ e uma caixa $B$ cuja intersecção com o plano Oxy é a que você encontrou.
Observação: O cruzamento $I=B \cap P$ é uma união de arcos parabólicos.
O ponto mais baixo de I será ao longo do eixo vertical $(x=3, y=1)$(que é o mais próximo do eixo de P). Insira esses valores na equação para obter$z_{min}=109$.
O ponto mais alto de I será obtido na borda vertical da caixa que está mais distante do eixo de P, ou seja, com coordenadas $(x=-2,y=-1)$. Mais uma vez, insira esses valores na equação para obter$z_{max}=150$.