espaço perfeitamente normal

Question

E se $X$ é um espaço topológico de Hausdorff, dizemos que $X$ é perfeitamente normal se, para cada conjunto fechado $A$, existe uma função contínua $f_A:X\rightarrow[0,1]$ de tal modo que $f_A^{-1}(0)=A$.

Prove que espaços perfeitamente normais são normais.

Meu esforço: suponha $A$ e $B$são dois conjuntos fechados separados. Definir$g=\frac{f_A}{f_A+f_B}$. $g(x)=0$ se e apenas se $x\in A$e $g(x)=1$ se e apenas se $x\in B$.

Enquanto eu puder provar $g:X\rightarrow [0,1]$é contínuo, estou feito. Mas não sei como mostrar que é contínuo.

Answer 1

Outra maneira pode ser ver seu mapa $g$ como a seguinte composição

$g=G\circ (f_A,f_B)$ Onde

$(f_A,f_B): X\to [0,1]\times [0,1]$

e

$G: E\subseteq [0,1]\times [0,1]\to [0,1]$

Onde $E=\{(x,y): x\neq 0 \textit{ or } y\neq 0\}$

E o mapa é $G(x,y):= \frac{x}{x+y}$

isto é contínuo em seu domínio. Este mapa é contínuo pelo mesmo raciocínio de Kavi Rama Murthy.

Answer 2

$f_A(x)+f_B(x) \geq 0$ e $f_A(x)+f_B(x) = 0$ se e apenas se $f_A(x)=f_B(x)=0$ se e apenas se $x \in A$ e $x\in B$o que é impossível. Conseqüentemente$g$é a proporção de duas funções contínuas nas quais o denominador nunca desaparece. Isso implica que$g$ é contínuo.