Esses triângulos têm hipotenos paralelos?

Question

Isso se originou como uma pergunta que encontrei enquanto trabalhava em madeira, mas eu tinha que tentar ver se havia uma solução. Digamos que eu tenha dois triângulos retângulos e cada um deles tenha os mesmos ângulos, mas um é ligeiramente maior que o outro (com o ângulo reto para ambos na origem). Dispor os triângulos uns sobre os outros desta forma significa que as hipotenusas são paralelas e separadas por uma certa quantidade. Se eu escolher o ângulo mais agudo e chamá-lo de theta, conheço e posso expressar três informações específicas (além da peça óbvia de que um ângulo é de 90 graus para cada triângulo):

1. O comprimento do lado oposto do triângulo maior é 0,5.
2. O comprimento do lado adjacente do triângulo menor é 1,5.
3. A separação entre as duas hipotenos é de 0,125.

A questão é: posso resolver as informações restantes para definir totalmente esses triângulos? Eu sei que você geralmente precisa de três informações para resolver para qualquer triângulo, e não tenho isso para cada triângulo individual, só tenho duas informações por triângulo. Mas eu tenho uma relação fixa e conhecida entre as duas (a separação das hipotenos paralelas) que sinto que devo ser capaz de usar de alguma forma como minha terceira informação. Pela minha vida, porém, não consigo descobrir como fazer isso. Alguma ideia? Estou tentando resolver o insolúvel? Existe uma maneira de fazer isso? Obrigado antecipadamente pela ajuda!

Answer 1

Digamos que o triângulo maior é $AOB$ com $A$ no $+y$-eixo, $O$ na origem e $B$ no $+x$-eixo, e da mesma forma para o triângulo menor $A'OB'$. Nós temos$AO=0.5$ e $OB'=1.5$. Agora deixe$A'O=x$; então temos por triângulos semelhantes$$\frac{1/2-x}{1/8}=\frac{\sqrt{x^2+9/4}}{3/2}$$Esta é uma equação quadrática. Resolvendo:$$6-12x=\sqrt{x^2+9/4}$$ $$36-144x+144x^2=x^2+9/4$$ $$143x^2-144x+135/4=0$$ $$x=\frac{144-3\sqrt{159}}{286}=0.3712288\dots\qquad(x<1/2)$$ A partir daí, como sabemos que os triângulos são semelhantes, todos os outros dados podem ser calculados.

Answer 2

No caso geral:

$$b\cos\theta = d + a\sin\theta \tag{1}$$

Conhecendo qualquer um dos três $a$, $b$, $d$, $\theta$, você pode encontrar o quarto. Claro,$\theta$ é o complicado, mas podemos escrever $$(d+a\sin\theta)^2=b^2\cos^2\theta\quad\to\quad d^2+2a d\sin\theta+a^2\sin^2\theta=b^2(1-\sin^2\theta) \tag{2}$$ Resolvendo o quadrático em $\sin\theta$, Nós temos

$$\sin\theta = \frac{-ad\pm b\sqrt{a^2+b^2-d^2}}{a^2+b^2} \tag{3}$$

Para agudo não negativo $\theta$ (e não negativo $a$ e $b$), pegamos o "$\pm$" ser estar "$+$"

Como marceneiro, você provavelmente prefere saber $\tan\theta$. Um pouco de trabalho rende

$$\tan\theta = \frac{ab-d\sqrt{a^2+b^2-d^2}}{(a+d)(a-d)} \tag{4}$$

Para o caso específico descrito na pergunta, temos $a=3/2$, $b=1/2$, $d=1/8$, assim $$\tan\theta = \frac{1}{143} (48 - \sqrt{159}) = 0.2475\ldots \quad\to\quad \theta\approx 13.9^\circ \tag{5}$$

Answer 3

Deixei $\angle BEA$ estar $\theta$. Então$\angle FDE = \theta$ por semelhança, então $\sin \theta = \frac{0.125}{ED} \Rightarrow ED = \frac{0.125}{\sin \theta}$.

Similarmente, $\angle BCG = 90º - \theta$, assim $\angle CBG = \theta$ também, e $\cos \theta = \frac{0.125}{BC} \Rightarrow BC = \frac{0.125}{\cos \theta}$.

Desde a $\Delta ABE \sim \Delta ACD$, nós temos que:

$$\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AD} \Rightarrow \frac{0.5 - 0.125/\cos \theta}{1.5} = \frac{0.5}{1.5 + 0.125/\sin \theta}$$ $$\Rightarrow \sin \theta \cos \theta (0.5 - 0.125/\cos \theta)(1.5 + 0.125/\sin \theta) = 1.5 \cdot 0.5 \sin \theta \cos \theta$$ $$\Rightarrow \sin \theta \cos \theta (0.75 + 0.0625/\sin \theta - 0.1875/\cos \theta - 0.015625/ (\sin \theta \cos \theta)) = 0.375 \sin \theta \cos \theta$$ $$\Rightarrow 0. 75 \sin \theta \cos \theta + 0.0625 \cos \theta - 0.1875 \sin \theta - 0.015625 = 0.375 \sin \theta \cos \theta$$ $$\Rightarrow \theta \approx 13.9º$$

que dá $AB, AC, AE, AD$, e você pode encontrar as hipotenos $BE$ e $CD$ usando Pitágoras.