Estimando $|\int_{\beta}\exp(iz^2)\ dz|$

Question

Deixei $R > 0$ e considere uma curva $$\beta(t) = R\exp(it), \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \leq t \leq \pi/4.$$ Eu preciso mostrar isso $$\left|\int_{\beta}\exp(iz^2)\ dz \right| \leq \frac{\pi(1-\exp(-R^2))}{4R}.$$

Tentativa: Bem, pensei em usar apenas a estimativa ML, mas não consegui. Eu calculei o comprimento do arco da curva$\beta$: $$l(\beta) = \int_0^{\pi/4}|\beta^{\prime}(t)|dt = \int_0^{\pi/4}|iR\exp(it)|\ dt = \int_0^{\pi/4}R^2\ dt = \frac{\pi R^2}{4}.$$ Agora eu gostaria de encontrar um $M > 0$ de tal modo que $|\exp(iz^2)|$ para qualquer $z \in \ \text{Image}\ \beta $.

Nós temos $|\exp(iz^2)| = \exp(-R^2\sin(2t))$. Usando$\sin(2t) \geq \frac{4}{\pi}t$ (o que eu não entendo como isso é verdade), para qualquer $t \in [0, \pi/4]$, isso produz $$|\exp(iz^2)| \leq \exp\left(-R^2\frac{4}{\pi}t\right).$$ A partir daqui, não sei como proceder.

Answer 1

Observe que temos

$$\begin{align} \left|\int_\beta e^{iz^2}\,dz\right|&=\left|\int_0^{\pi/4}e^{i(Re^{i\phi})^2}\,iRe^{i\phi}\,d\phi\right|\\\\ &=\left|\int_0^{\pi/4}e^{iR^2e^{i2\phi}}\,iRe^{i\phi}\,d\phi\right|\\\\ &=\left|\int_0^{\pi/4}e^{iR^2\cos(2\phi)}e^{-R^2\sin(2\phi)}\,iRe^{i\phi}\,d\phi\right|\\\\ &\le R\int_0^{\pi/4}e^{-(4R^2/\pi)\phi}\,d\phi \end{align}$$

onde usamos a desigualdade do triângulo junto com a estimativa $ \sin(2\phi)\ge \frac{4\phi}\pi$ para $0\le \phi\le \pi/4$.

E agora você pode terminar.