Evolução temporal do pacote gaussiano

Question

Estou tentando obter a evolução do tempo para a seguinte condição inicial: $$ \Psi(x,0) = \left(\frac{1}{2\pi \sigma^2} \right)^{\frac{1}{4}} e^{- \left(\frac{ x-x_{0}}{2 \sigma}\right)^{2}} e^{i\frac{ p_{0} x}{\hbar}}$$ Eu tenho a transformada de Fourier desta função, $$\Phi(p) = \left(\frac{2 \sigma^{2}}{\pi \hbar^{2}} \right)^{\frac{1}{4}} e^{ - \frac{\sigma^{2} (p-p_{0})^{2}}{\hbar^{2}}}e^{i \sigma x_{0}},$$ e minha pergunta é:

Para obter a equação de onda de evolução no tempo, devo transformar usando $$\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt {2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} \Phi(p) e^{i\frac{px}{\hbar}} e^{-i \frac{p^{2}t}{2m\hbar}} \,dp$$

Ou devo usar $$\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt {2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} \Phi(p) e^{i\frac{p(x-x_{0})}{\hbar}} e^{-i \frac{p^{2}t}{2m\hbar}}\,dp~?$$ Eu pergunto isso porque em $t=0$, $\langle x\rangle = x_{0}$. No entanto, quando obtenho a evolução do tempo usando a primeira equação, obtenho que$\langle x\rangle = \frac{p_{0}}{m} t$, que significa $\langle x\rangle=0$ em $t=0$.

Meu professor disse que deveríamos obter $\langle x\rangle = x_{0} + \frac{p_{0}}{m} t$.

Alguém poderia me ajudar?

Answer 1

Ou devo usar ...

Não! Você não deve usar expressões erradas simplesmente porque elas podem levar você à resposta certa conhecida cancelando erros.

Você deve fazer o FT corretamente, pois você sabe que está errado, pois, para t = 0, seu FT inverso você começa com$$\Psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt {2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} \Phi(p) ~ e^{i\frac{px}{\hbar}} \,dp$$ falha em recuperar sua expressão original!

Seu $\Phi(p)$está claramente errado; você gasta muito tempo perseguindo fatores e símbolos supérfluos e abafa o ponto central envolvido. Você pode primeiro definir$\hbar=1$ e $\sigma= 1/\sqrt 2$ para lidar com gaussianas FT balanceadas, se você não estiver familiarizado com a não-dimensionalização (o que você deveria estar), e reintegrar essas em suas expressões finais depois de apreciar o ponto envolvido.

Ignorando normalizações gerais que não importam, você deve ser capaz de ver que $$\Psi\propto e^{ip_0x_0} ~ e^{ip_0(x-x_0)} ~ e^{-(x-x_0)^2/2}~~~\leadsto \\ \Phi(p)\propto e^{ix_0(p-p_0)} ~ e^{-(p-p_0)^2/2} , $$ o que o levará de volta para $\Psi$, desta vez centrado em $x_0$.

Você pode então conectar o propagador de energia cinética livre, como você começou, para obter as expressões padrão , cujo x equivale ao seu$x-x_0$.