Expressão para curvatura extrínseca
No livro de Padmanabhan, Gravitation Foundations and Frontiers, a seguinte equação pode, em relação à curvatura extrínseca de uma hipersuperfície, ser encontrada na seção 12.2 (ver logo acima da equação 12.19 nesse livro),
\begin{align} K_{\alpha\beta}=-\nabla_\alpha n_\beta=-N\Gamma^0_{\alpha\beta}. \end{align}
De acordo com a convenção do livro, os índices gregos correm para as coordenadas espaciais ($\alpha=1,2,3$) e os índices latinos correm para as coordenadas do espaço-tempo ($a=0,1,2,3$) Assim, a equação acima dá uma expressão para os componentes espaciais da curvatura extrínseca,$K_{\alpha\beta}$. Aqui,$n^a$ é o campo vetorial normal para a hipersuperfície e $N$é a função de lapso. Agora, o livro afirma que se expandirmos o símbolo de Christoffel, obteremos a seguinte expressão (ver a equação 12.19 no livro),
$$K_{\alpha\beta}=\frac{1}{2N}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)$$
Aqui, $N^\alpha$ é o vetor de deslocamento, $h_{\alpha\beta}$ é a métrica espacial induzida na hipersuperfície, e $D_m$ é a derivada covariante intrínseca na hipersuperfície com sua ação nos vetores puramente espaciais $X_s$, que satisfaz uma restrição como $X_sn^s=0$, definido como
$$D_mX_s=h^a_mh^b_s\nabla_aX_b,$$
Onde, $h^a_b=\delta^a_b+n^an_b$ são o tensor de projeção na hipersuperfície, e $\nabla_a$ é a derivada covariante usual para o espaço-tempo.
Não consegui derivar a equação 12.19 dando a expressão para $K_{\alpha\beta}$. Abaixo eu mostro como tentei fazer. O símbolo Christoffel pode ser expandido como,\begin{align} \Gamma^0_{\alpha\beta}&=\frac{1}{2}g^{0a}\left(\partial_\alpha g_{\beta a}+\partial_\beta g_{\alpha a}-\partial_a g_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{1}{2}g^{00}\left(\partial_\alpha g_{\beta 0}+\partial_\beta g_{\alpha 0}-\partial_0 g_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}g^{0\gamma}\left(\partial_\alpha g_{\beta \gamma}+\partial_\beta g_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma g_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{-1}{2}N^{-2}\left(\partial_\alpha N_{\beta}+\partial_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{-1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}+2\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{-1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right) \end{align} Acima, usei os fatos que, $$n_0=-N,\quad n_\alpha=0,$$ $$D_\alpha N_\beta=h^a_\alpha h^b_\beta\nabla_a N_b=\partial_\alpha N_\beta-\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma,$$ $$h_{00}=N^\gamma N_\gamma,\quad h_{0\alpha}=N_\alpha,\quad h_{\alpha\beta}=g_{\alpha\beta}$$
Respostas
O cálculo do OP parece bom. Se prosseguirmos nessa linha, a expressão necessária pode ser alcançada com bastante facilidade. Primeiro, eu observo que,$$D_\alpha N_\beta=\partial_\alpha N_\beta-{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma\neq \partial_\alpha N_\beta-{}^{(4)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma=\partial_\alpha N_\beta-\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma,$$Talvez essa substituição seja o que confunde no cálculo do OP. Se corrigirmos isso, segue-se,\begin{align} &\frac{1}{2}g^{0a}\left(\partial_\alpha g_{\beta a}+\partial_\beta g_{\alpha a}-\partial_a g_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}+2{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}\nonumber\\ &\qquad+\frac{1}{2}N^{-2}N_{\sigma}h^{\gamma\sigma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}+N^{-2}N_{\sigma}{}^{(3)}\Gamma^{\sigma}_{\alpha\beta}\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right) \end{align} Portanto, $$K_{\alpha\beta}=-N\Gamma^0_{\alpha\beta}=\frac{1}{2N}\left[D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right].$$
- A curvatura extrínseca é definida no espaço-tempo ambiente (em vez de na hipersuperfície) como $n_a$: $$K_{ab} = -P_\perp{}^c{}_{a}P_\perp{}^d{}_b \nabla_c n_d,$$ com $P_\perp$o tensor de projeção na hipersuperfície. Observe que, por construção, a curvatura extrínseca é espacial e simétrica em seus dois índices.
- Use a simetria para escrever $K_{ab}$ como um derivado de Lie:$$K_{ab} ={-\scriptsize\frac{1}{2}} P_\perp{}^c{}_{a}P_\perp{}^d{}_b \mathcal{L}_n \,g_{cd}.$$
- Use a decomposição ortogonal da métrica e o sistema de coordenadas adaptado $t^a = Nn^a + N^a$ para a função de lapso e vetor de deslocamento chegarem a $$K_{ab} = {\scriptsize\frac{1}{2}}N^{-1}\mathcal{L}_{(N-t)}h_{ab}.$$
Referências:
- T. Thiemann, Introdução à Relatividade Geral Quântica Canônica Moderna , subseção I.1.1